แก้โจทย์ {l}{3u+5x=8}{5u+5x=14}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 u + 5 x = 8 } \\ { 5 u + 5 x = 14 } \end{array} \right.$$

หาค่า u, x

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$u=3$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3u+5x=8,5u+5x=14$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ u โดยแยก u ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3u+5x=8$$

ลบ 5x จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3u=-5x+8$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$u=\frac{1}{3}\left(-5x+8\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -5x+8

$$u=-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}$$

ทดแทน \frac{-5x+8}{3} สำหรับ u ในอีกสมการหนึ่ง 5u+5x=14

$$5\left(-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}\right)+5x=14$$

คูณ 5 ด้วย \frac{-5x+8}{3}

$$-\frac{25}{3}x+\frac{40}{3}+5x=14$$

เพิ่ม -\frac{25x}{3} ไปยัง 5x

$$-\frac{10}{3}x+\frac{40}{3}=14$$

ลบ \frac{40}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{10}{3}x=\frac{2}{3}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{10}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=-\frac{1}{5}$$

ทดแทน -\frac{1}{5} สำหรับ x ใน u=-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า u โดยตรงได้

$$u=-\frac{5}{3}\left(-\frac{1}{5}\right)+\frac{8}{3}$$

คูณ -\frac{5}{3} ครั้ง -\frac{1}{5} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$u=\frac{1+8}{3}$$

เพิ่ม \frac{8}{3} ไปยัง \frac{1}{3} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$u=3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$u=3,x=-\frac{1}{5}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3u+5x=8,5u+5x=14$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-5\times 5}&-\frac{5}{3\times 5-5\times 5}\\-\frac{5}{3\times 5-5\times 5}&\frac{3}{3\times 5-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 8+\frac{1}{2}\times 14\\\frac{1}{2}\times 8-\frac{3}{10}\times 14\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ u และ x

$$u=3,x=-\frac{1}{5}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3u+5x=8,5u+5x=14$$

ลบ 5u+5x=14 จาก 3u+5x=8 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3u-5u+5x-5x=8-14$$

เพิ่ม 5x ไปยัง -5x ตัดพจน์ 5x และ -5x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$3u-5u=8-14$$

เพิ่ม 3u ไปยัง -5u

$$-2u=8-14$$

เพิ่ม 8 ไปยัง -14

$$-2u=-6$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$u=3$$

ทดแทน 3 สำหรับ u ใน 5u+5x=14 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$5\times 3+5x=14$$

คูณ 5 ด้วย 3

$$15+5x=14$$

ลบ 15 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=-1$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=-\frac{1}{5}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$u=3,x=-\frac{1}{5}$$