แก้โจทย์ {l}{3c+2x=5}{2c+4x=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 c + 2 x = 5 } \\ { 2 c + 4 x = 6 } \end{array} \right.$$

หาค่า c, x

$$x=1$$

$$c=1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3c+2x=5,2c+4x=6$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ c โดยแยก c ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3c+2x=5$$

ลบ 2x จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3c=-2x+5$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$c=\frac{1}{3}\left(-2x+5\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -2x+5

$$c=-\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$$

ทดแทน \frac{-2x+5}{3} สำหรับ c ในอีกสมการหนึ่ง 2c+4x=6

$$2\left(-\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}\right)+4x=6$$

คูณ 2 ด้วย \frac{-2x+5}{3}

$$-\frac{4}{3}x+\frac{10}{3}+4x=6$$

เพิ่ม -\frac{4x}{3} ไปยัง 4x

$$\frac{8}{3}x+\frac{10}{3}=6$$

ลบ \frac{10}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{8}{3}x=\frac{8}{3}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{8}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ x ใน c=-\frac{2}{3}x+\frac{5}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า c โดยตรงได้

$$c=\frac{-2+5}{3}$$

เพิ่ม \frac{5}{3} ไปยัง -\frac{2}{3} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$c=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$c=1,x=1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3c+2x=5,2c+4x=6$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-2\times 2}&-\frac{2}{3\times 4-2\times 2}\\-\frac{2}{3\times 4-2\times 2}&\frac{3}{3\times 4-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 5-\frac{1}{4}\times 6\\-\frac{1}{4}\times 5+\frac{3}{8}\times 6\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ c และ x

$$c=1,x=1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3c+2x=5,2c+4x=6$$

เพื่อทำให้ 3c และ 2c เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$2\times 3c+2\times 2x=2\times 5,3\times 2c+3\times 4x=3\times 6$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$6c+4x=10,6c+12x=18$$

ลบ 6c+12x=18 จาก 6c+4x=10 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6c-6c+4x-12x=10-18$$

เพิ่ม 6c ไปยัง -6c ตัดพจน์ 6c และ -6c ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$4x-12x=10-18$$

เพิ่ม 4x ไปยัง -12x

$$-8x=10-18$$

เพิ่ม 10 ไปยัง -18

$$-8x=-8$$

หารทั้งสองข้างด้วย -8

$$x=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ x ใน 2c+4x=6 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า c โดยตรงได้

$$2c+4=6$$

ลบ 4 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2c=2$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$c=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$c=1,x=1$$