แก้โจทย์ {l}{3a+b=-3}{2a-b=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 a + b = - 3 } \\ { 2 a - b = - 1 } \end{array} \right.$$

หาค่า a, b

$$a=-\frac{4}{5}=-0.8$$

$$b=-\frac{3}{5}=-0.6$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3a+b=-3,2a-b=-1$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ a โดยแยก a ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3a+b=-3$$

ลบ b จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3a=-b-3$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$a=\frac{1}{3}\left(-b-3\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -b-3

$$a=-\frac{1}{3}b-1$$

ทดแทน -\frac{b}{3}-1 สำหรับ a ในอีกสมการหนึ่ง 2a-b=-1

$$2\left(-\frac{1}{3}b-1\right)-b=-1$$

คูณ 2 ด้วย -\frac{b}{3}-1

$$-\frac{2}{3}b-2-b=-1$$

เพิ่ม -\frac{2b}{3} ไปยัง -b

$$-\frac{5}{3}b-2=-1$$

เพิ่ม 2 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{5}{3}b=1$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{5}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$b=-\frac{3}{5}$$

ทดแทน -\frac{3}{5} สำหรับ b ใน a=-\frac{1}{3}b-1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า a โดยตรงได้

$$a=-\frac{1}{3}\left(-\frac{3}{5}\right)-1$$

คูณ -\frac{1}{3} ครั้ง -\frac{3}{5} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$a=\frac{1}{5}-1$$

เพิ่ม -1 ไปยัง \frac{1}{5}

$$a=-\frac{4}{5}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$a=-\frac{4}{5},b=-\frac{3}{5}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3a+b=-3,2a-b=-1$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-2}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-3\right)+\frac{1}{5}\left(-1\right)\\\frac{2}{5}\left(-3\right)-\frac{3}{5}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5}\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ a และ b

$$a=-\frac{4}{5},b=-\frac{3}{5}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3a+b=-3,2a-b=-1$$

เพื่อทำให้ 3a และ 2a เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$2\times 3a+2b=2\left(-3\right),3\times 2a+3\left(-1\right)b=3\left(-1\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$6a+2b=-6,6a-3b=-3$$

ลบ 6a-3b=-3 จาก 6a+2b=-6 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6a-6a+2b+3b=-6+3$$

เพิ่ม 6a ไปยัง -6a ตัดพจน์ 6a และ -6a ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$2b+3b=-6+3$$

เพิ่ม 2b ไปยัง 3b

$$5b=-6+3$$

เพิ่ม -6 ไปยัง 3

$$5b=-3$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$b=-\frac{3}{5}$$

ทดแทน -\frac{3}{5} สำหรับ b ใน 2a-b=-1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า a โดยตรงได้

$$2a-\left(-\frac{3}{5}\right)=-1$$

ลบ \frac{3}{5} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2a=-\frac{8}{5}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$a=-\frac{4}{5}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$a=-\frac{4}{5},b=-\frac{3}{5}$$