แก้โจทย์ {l}{3a+5u=17}{2a+u=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 a + 5 u = 17 } \\ { 2 a + u = 9 } \end{array} \right.$$

หาค่า a, u

$$a=4$$

$$u=1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3a+5u=17,2a+u=9$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ a โดยแยก a ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3a+5u=17$$

ลบ 5u จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3a=-5u+17$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$a=\frac{1}{3}\left(-5u+17\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -5u+17

$$a=-\frac{5}{3}u+\frac{17}{3}$$

ทดแทน \frac{-5u+17}{3} สำหรับ a ในอีกสมการหนึ่ง 2a+u=9

$$2\left(-\frac{5}{3}u+\frac{17}{3}\right)+u=9$$

คูณ 2 ด้วย \frac{-5u+17}{3}

$$-\frac{10}{3}u+\frac{34}{3}+u=9$$

เพิ่ม -\frac{10u}{3} ไปยัง u

$$-\frac{7}{3}u+\frac{34}{3}=9$$

ลบ \frac{34}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{7}{3}u=-\frac{7}{3}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{7}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$u=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ u ใน a=-\frac{5}{3}u+\frac{17}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า a โดยตรงได้

$$a=\frac{-5+17}{3}$$

เพิ่ม \frac{17}{3} ไปยัง -\frac{5}{3} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$a=4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$a=4,u=1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3a+5u=17,2a+u=9$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-5\times 2}&-\frac{5}{3-5\times 2}\\-\frac{2}{3-5\times 2}&\frac{3}{3-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{2}{7}&-\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 17+\frac{5}{7}\times 9\\\frac{2}{7}\times 17-\frac{3}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ a และ u

$$a=4,u=1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3a+5u=17,2a+u=9$$

เพื่อทำให้ 3a และ 2a เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$2\times 3a+2\times 5u=2\times 17,3\times 2a+3u=3\times 9$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$6a+10u=34,6a+3u=27$$

ลบ 6a+3u=27 จาก 6a+10u=34 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6a-6a+10u-3u=34-27$$

เพิ่ม 6a ไปยัง -6a ตัดพจน์ 6a และ -6a ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$10u-3u=34-27$$

เพิ่ม 10u ไปยัง -3u

$$7u=34-27$$

เพิ่ม 34 ไปยัง -27

$$7u=7$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$u=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ u ใน 2a+u=9 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า a โดยตรงได้

$$2a+1=9$$

ลบ 1 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2a=8$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$a=4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$a=4,u=1$$