แก้โจทย์ {l}{3A-13c=-255}{31A-6c=-180}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 A - 13 c = - 255 } \\ { 31 A - 6 c = - 180 } \end{array} \right.$$

หาค่า A, c

$$A = -\frac{162}{77} = -2\frac{8}{77} \approx -2.103896104$$

$$c = \frac{1473}{77} = 19\frac{10}{77} \approx 19.12987013$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ A โดยแยก A ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3A-13c=-255$$

เพิ่ม 13c ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3A=13c-255$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$A=\frac{1}{3}\left(13c-255\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย 13c-255

$$A=\frac{13}{3}c-85$$

ทดแทน \frac{13c}{3}-85 สำหรับ A ในอีกสมการหนึ่ง 31A-6c=-180

$$31\left(\frac{13}{3}c-85\right)-6c=-180$$

คูณ 31 ด้วย \frac{13c}{3}-85

$$\frac{403}{3}c-2635-6c=-180$$

เพิ่ม \frac{403c}{3} ไปยัง -6c

$$\frac{385}{3}c-2635=-180$$

เพิ่ม 2635 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{385}{3}c=2455$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{385}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$c=\frac{1473}{77}$$

ทดแทน \frac{1473}{77} สำหรับ c ใน A=\frac{13}{3}c-85 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า A โดยตรงได้

$$A=\frac{13}{3}\times \frac{1473}{77}-85$$

คูณ \frac{13}{3} ครั้ง \frac{1473}{77} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$A=\frac{6383}{77}-85$$

เพิ่ม -85 ไปยัง \frac{6383}{77}

$$A=-\frac{162}{77}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}&-\frac{-13}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}\\-\frac{31}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}&\frac{3}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{385}&\frac{13}{385}\\-\frac{31}{385}&\frac{3}{385}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{385}\left(-255\right)+\frac{13}{385}\left(-180\right)\\-\frac{31}{385}\left(-255\right)+\frac{3}{385}\left(-180\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{162}{77}\\\frac{1473}{77}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ A และ c

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

เพื่อทำให้ 3A และ 31A เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 31 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$31\times 3A+31\left(-13\right)c=31\left(-255\right),3\times 31A+3\left(-6\right)c=3\left(-180\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$93A-403c=-7905,93A-18c=-540$$

ลบ 93A-18c=-540 จาก 93A-403c=-7905 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$93A-93A-403c+18c=-7905+540$$

เพิ่ม 93A ไปยัง -93A ตัดพจน์ 93A และ -93A ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-403c+18c=-7905+540$$

เพิ่ม -403c ไปยัง 18c

$$-385c=-7905+540$$

เพิ่ม -7905 ไปยัง 540

$$-385c=-7365$$

หารทั้งสองข้างด้วย -385

$$c=\frac{1473}{77}$$

ทดแทน \frac{1473}{77} สำหรับ c ใน 31A-6c=-180 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า A โดยตรงได้

$$31A-6\times \frac{1473}{77}=-180$$

คูณ -6 ด้วย \frac{1473}{77}

$$31A-\frac{8838}{77}=-180$$

เพิ่ม \frac{8838}{77} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$31A=-\frac{5022}{77}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 31

$$A=-\frac{162}{77}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$