แก้โจทย์ {l}{3(x+2)-y=17}{7x+3(y-1)=12}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 ( x + 2 ) - y = 17 } \\ { 7 x + 3 ( y - 1 ) = 12 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=3$$

$$y=-2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3\left(x+2\right)-y=17,7x+3\left(y-1\right)=12$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3\left(x+2\right)-y=17$$

คูณ 3 ด้วย x+2

$$3x+6-y=17$$

ลบ 6 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x-y=11$$

เพิ่ม y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=y+11$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(y+11\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย y+11

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}$$

ทดแทน \frac{11+y}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 7x+3\left(y-1\right)=12

$$7\left(\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}\right)+3\left(y-1\right)=12$$

คูณ 7 ด้วย \frac{11+y}{3}

$$\frac{7}{3}y+\frac{77}{3}+3\left(y-1\right)=12$$

คูณ 3 ด้วย y-1

$$\frac{7}{3}y+\frac{77}{3}+3y-3=12$$

เพิ่ม \frac{7y}{3} ไปยัง 3y

$$\frac{16}{3}y+\frac{77}{3}-3=12$$

เพิ่ม \frac{77}{3} ไปยัง -3

$$\frac{16}{3}y+\frac{68}{3}=12$$

ลบ \frac{68}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{16}{3}y=-\frac{32}{3}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{16}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-2$$

ทดแทน -2 สำหรับ y ใน x=\frac{1}{3}y+\frac{11}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{1}{3}\left(-2\right)+\frac{11}{3}$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -2

$$x=\frac{-2+11}{3}$$

เพิ่ม \frac{11}{3} ไปยัง -\frac{2}{3} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=3,y=-2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3\left(x+2\right)-y=17,7x+3\left(y-1\right)=12$$

ทำสมการแรกให้เป็นรูปมาตรฐาน

$$3\left(x+2\right)-y=17$$

คูณ 3 ด้วย x+2

$$3x+6-y=17$$

ลบ 6 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x-y=11$$

ทำสมการที่สองให้เป็นรูปมาตรฐาน

$$7x+3\left(y-1\right)=12$$

คูณ 3 ด้วย y-1

$$7x+3y-3=12$$

เพิ่ม 3 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$7x+3y=15$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\15\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&-1\\7&3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\15\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\15\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\15\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-7\right)}&-\frac{-1}{3\times 3-\left(-7\right)}\\-\frac{7}{3\times 3-\left(-7\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\15\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{16}&\frac{1}{16}\\-\frac{7}{16}&\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\15\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{16}\times 11+\frac{1}{16}\times 15\\-\frac{7}{16}\times 11+\frac{3}{16}\times 15\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=3,y=-2$$