แก้โจทย์ {l}{3(2x-5)+2y=-41}{x-3y/9-y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 ( 2 x - 5 ) + 2 y = - 41 } \\ { \frac { x - 3 y } { 9 } - y = 5 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-3$$

$$y=-4$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย 2x-5

$$6x-15+2y=-41$$

เพิ่ม 15 ไปทั้งสองด้าน

$$6x+2y=-41+15$$

เพิ่ม -41 และ 15 เพื่อให้ได้รับ -26

$$6x+2y=-26$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 9

$$x-3y-9y=45$$

รวม -3y และ -9y เพื่อให้ได้รับ -12y

$$x-12y=45$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$6x+2y=-26,x-12y=45$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6x+2y=-26$$

ลบ 2y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$6x=-2y-26$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$x=\frac{1}{6}\left(-2y-26\right)$$

คูณ \frac{1}{6} ด้วย -2y-26

$$x=-\frac{1}{3}y-\frac{13}{3}$$

ทดแทน \frac{-y-13}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง x-12y=45

$$-\frac{1}{3}y-\frac{13}{3}-12y=45$$

เพิ่ม -\frac{y}{3} ไปยัง -12y

$$-\frac{37}{3}y-\frac{13}{3}=45$$

เพิ่ม \frac{13}{3} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{37}{3}y=\frac{148}{3}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{37}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-4$$

ทดแทน -4 สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{3}y-\frac{13}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{3}\left(-4\right)-\frac{13}{3}$$

คูณ -\frac{1}{3} ด้วย -4

$$x=\frac{4-13}{3}$$

เพิ่ม -\frac{13}{3} ไปยัง \frac{4}{3} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-3,y=-4$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย 2x-5

$$6x-15+2y=-41$$

เพิ่ม 15 ไปทั้งสองด้าน

$$6x+2y=-41+15$$

เพิ่ม -41 และ 15 เพื่อให้ได้รับ -26

$$6x+2y=-26$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 9

$$x-3y-9y=45$$

รวม -3y และ -9y เพื่อให้ได้รับ -12y

$$x-12y=45$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$6x+2y=-26,x-12y=45$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{6\left(-12\right)-2}&-\frac{2}{6\left(-12\right)-2}\\-\frac{1}{6\left(-12\right)-2}&\frac{6}{6\left(-12\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{37}&\frac{1}{37}\\\frac{1}{74}&-\frac{3}{37}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{37}\left(-26\right)+\frac{1}{37}\times 45\\\frac{1}{74}\left(-26\right)-\frac{3}{37}\times 45\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-4\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-3,y=-4$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย 2x-5

$$6x-15+2y=-41$$

เพิ่ม 15 ไปทั้งสองด้าน

$$6x+2y=-41+15$$

เพิ่ม -41 และ 15 เพื่อให้ได้รับ -26

$$6x+2y=-26$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 9

$$x-3y-9y=45$$

รวม -3y และ -9y เพื่อให้ได้รับ -12y

$$x-12y=45$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$6x+2y=-26,x-12y=45$$

เพื่อทำให้ 6x และ x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 6

$$6x+2y=-26,6x+6\left(-12\right)y=6\times 45$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$6x+2y=-26,6x-72y=270$$

ลบ 6x-72y=270 จาก 6x+2y=-26 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6x-6x+2y+72y=-26-270$$

เพิ่ม 6x ไปยัง -6x ตัดพจน์ 6x และ -6x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$2y+72y=-26-270$$

เพิ่ม 2y ไปยัง 72y

$$74y=-26-270$$

เพิ่ม -26 ไปยัง -270

$$74y=-296$$

หารทั้งสองข้างด้วย 74

$$y=-4$$

ทดแทน -4 สำหรับ y ใน x-12y=45 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x-12\left(-4\right)=45$$

คูณ -12 ด้วย -4

$$x+48=45$$

ลบ 48 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-3,y=-4$$