แก้โจทย์ {l}{3/2x+6y=19/8}{1/2x-9y=-23/8}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 / 2 x + 6 y = \frac { 19 } { 8 } } \\ { 1 / 2 x - 9 y = \frac { - 23 } { 8 } } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$y=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$\frac{3}{2}x+6y=\frac{19}{8},\frac{1}{2}x-9y=-\frac{23}{8}$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\frac{3}{2}x+6y=\frac{19}{8}$$

ลบ 6y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{3}{2}x=-6y+\frac{19}{8}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{3}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=\frac{2}{3}\left(-6y+\frac{19}{8}\right)$$

คูณ \frac{2}{3} ด้วย -6y+\frac{19}{8}

$$x=-4y+\frac{19}{12}$$

ทดแทน -4y+\frac{19}{12} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง \frac{1}{2}x-9y=-\frac{23}{8}

$$\frac{1}{2}\left(-4y+\frac{19}{12}\right)-9y=-\frac{23}{8}$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -4y+\frac{19}{12}

$$-2y+\frac{19}{24}-9y=-\frac{23}{8}$$

เพิ่ม -2y ไปยัง -9y

$$-11y+\frac{19}{24}=-\frac{23}{8}$$

ลบ \frac{19}{24} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-11y=-\frac{11}{3}$$

หารทั้งสองข้างด้วย -11

$$y=\frac{1}{3}$$

ทดแทน \frac{1}{3} สำหรับ y ใน x=-4y+\frac{19}{12} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-4\times \frac{1}{3}+\frac{19}{12}$$

คูณ -4 ด้วย \frac{1}{3}

$$x=-\frac{4}{3}+\frac{19}{12}$$

เพิ่ม \frac{19}{12} ไปยัง -\frac{4}{3} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{1}{4}$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{1}{3}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$\frac{3}{2}x+6y=\frac{19}{8},\frac{1}{2}x-9y=-\frac{23}{8}$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&6\\\frac{1}{2}&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{8}\\-\frac{23}{8}\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&6\\\frac{1}{2}&-9\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&6\\\frac{1}{2}&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&6\\\frac{1}{2}&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&6\\\frac{1}{2}&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{19}{8}\\-\frac{23}{8}\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&6\\\frac{1}{2}&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{19}{8}\\-\frac{23}{8}\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&6\\\frac{1}{2}&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{19}{8}\\-\frac{23}{8}\end{matrix}\right)$$

สำหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถถูกเขียนขึ้นเป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{\frac{3}{2}\left(-9\right)-6\times \frac{1}{2}}&-\frac{6}{\frac{3}{2}\left(-9\right)-6\times \frac{1}{2}}\\-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}\left(-9\right)-6\times \frac{1}{2}}&\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}\left(-9\right)-6\times \frac{1}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{19}{8}\\-\frac{23}{8}\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{11}&\frac{4}{11}\\\frac{1}{33}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{19}{8}\\-\frac{23}{8}\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{11}\times \frac{19}{8}+\frac{4}{11}\left(-\frac{23}{8}\right)\\\frac{1}{33}\times \frac{19}{8}-\frac{1}{11}\left(-\frac{23}{8}\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{1}{3}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$\frac{3}{2}x+6y=\frac{19}{8},\frac{1}{2}x-9y=-\frac{23}{8}$$

เพื่อทำให้ \frac{3x}{2} และ \frac{x}{2} เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย \frac{1}{2} และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย \frac{3}{2}

$$\frac{1}{2}\times \frac{3}{2}x+\frac{1}{2}\times 6y=\frac{1}{2}\times \frac{19}{8},\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\left(-9\right)y=\frac{3}{2}\left(-\frac{23}{8}\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$\frac{3}{4}x+3y=\frac{19}{16},\frac{3}{4}x-\frac{27}{2}y=-\frac{69}{16}$$

ลบ \frac{3}{4}x-\frac{27}{2}y=-\frac{69}{16} จาก \frac{3}{4}x+3y=\frac{19}{16} โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}x+3y+\frac{27}{2}y=\frac{19+69}{16}$$

เพิ่ม \frac{3x}{4} ไปยัง -\frac{3x}{4} ตัดพจน์ \frac{3x}{4} และ -\frac{3x}{4} ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$3y+\frac{27}{2}y=\frac{19+69}{16}$$

เพิ่ม 3y ไปยัง \frac{27y}{2}

$$\frac{33}{2}y=\frac{19+69}{16}$$

เพิ่ม \frac{19}{16} ไปยัง \frac{69}{16} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$\frac{33}{2}y=\frac{11}{2}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{33}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{1}{3}$$

ทดแทน \frac{1}{3} สำหรับ y ใน \frac{1}{2}x-9y=-\frac{23}{8} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$\frac{1}{2}x-9\times \frac{1}{3}=-\frac{23}{8}$$

คูณ -9 ด้วย \frac{1}{3}

$$\frac{1}{2}x-3=-\frac{23}{8}$$

เพิ่ม 3 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{1}{2}x=\frac{1}{8}$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{4}$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{1}{3}$$