แก้โจทย์ {l}{25x+y=9}{1.6x+0.2y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 25 x + y = 9 } \\ { 1.6 x + 0.2 y = 13 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = -\frac{56}{17} = -3\frac{5}{17} \approx -3.294117647$$

$$y = \frac{1553}{17} = 91\frac{6}{17} \approx 91.352941176$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$25x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$25x+y=9$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$25x=-y+9$$

หารทั้งสองข้างด้วย 25

$$x=\frac{1}{25}\left(-y+9\right)$$

คูณ \frac{1}{25} ด้วย -y+9

$$x=-\frac{1}{25}y+\frac{9}{25}$$

ทดแทน \frac{-y+9}{25} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 1.6x+0.2y=13

$$1.6\left(-\frac{1}{25}y+\frac{9}{25}\right)+0.2y=13$$

คูณ 1.6 ด้วย \frac{-y+9}{25}

$$-\frac{8}{125}y+\frac{72}{125}+0.2y=13$$

เพิ่ม -\frac{8y}{125} ไปยัง \frac{y}{5}

$$\frac{17}{125}y+\frac{72}{125}=13$$

ลบ \frac{72}{125} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{17}{125}y=\frac{1553}{125}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{17}{125} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{1553}{17}$$

ทดแทน \frac{1553}{17} สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{25}y+\frac{9}{25} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{25}\times \frac{1553}{17}+\frac{9}{25}$$

คูณ -\frac{1}{25} ครั้ง \frac{1553}{17} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{1553}{425}+\frac{9}{25}$$

เพิ่ม \frac{9}{25} ไปยัง -\frac{1553}{425} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{56}{17}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{56}{17},y=\frac{1553}{17}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$25x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.2}{25\times 0.2-1.6}&-\frac{1}{25\times 0.2-1.6}\\-\frac{1.6}{25\times 0.2-1.6}&\frac{25}{25\times 0.2-1.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&-\frac{5}{17}\\-\frac{8}{17}&\frac{125}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}\times 9-\frac{5}{17}\times 13\\-\frac{8}{17}\times 9+\frac{125}{17}\times 13\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{56}{17}\\\frac{1553}{17}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{56}{17},y=\frac{1553}{17}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$25x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

เพื่อทำให้ 25x และ \frac{8x}{5} เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1.6 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 25

$$1.6\times 25x+1.6y=1.6\times 9,25\times 1.6x+25\times 0.2y=25\times 13$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$40x+1.6y=14.4,40x+5y=325$$

ลบ 40x+5y=325 จาก 40x+1.6y=14.4 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$40x-40x+1.6y-5y=14.4-325$$

เพิ่ม 40x ไปยัง -40x ตัดพจน์ 40x และ -40x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$1.6y-5y=14.4-325$$

เพิ่ม \frac{8y}{5} ไปยัง -5y

$$-3.4y=14.4-325$$

เพิ่ม 14.4 ไปยัง -325

$$-3.4y=-310.6$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -3.4 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{1553}{17}$$

ทดแทน \frac{1553}{17} สำหรับ y ใน 1.6x+0.2y=13 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$1.6x+0.2\times \frac{1553}{17}=13$$

คูณ 0.2 ครั้ง \frac{1553}{17} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$1.6x+\frac{1553}{85}=13$$

ลบ \frac{1553}{85} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$1.6x=-\frac{448}{85}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 1.6 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=-\frac{56}{17}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{56}{17},y=\frac{1553}{17}$$