แก้โจทย์ {l}{2.5x+2.5y=17}{-1.5x-7.5y=-33}

$$\left. \begin{array} { l } { 2.5 x + 2.5 y = 17 } \\ { - 1.5 x - 7.5 y = - 33 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=3$$

$$y=3.8$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2.5x+2.5y=17,-1.5x-7.5y=-33$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2.5x+2.5y=17$$

ลบ \frac{5y}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2.5x=-2.5y+17$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 2.5 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=0.4\left(-2.5y+17\right)$$

คูณ 0.4 ด้วย -\frac{5y}{2}+17

$$x=-y+6.8$$

ทดแทน -y+6.8 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -1.5x-7.5y=-33

$$-1.5\left(-y+6.8\right)-7.5y=-33$$

คูณ -1.5 ด้วย -y+6.8

$$1.5y-10.2-7.5y=-33$$

เพิ่ม \frac{3y}{2} ไปยัง -\frac{15y}{2}

$$-6y-10.2=-33$$

เพิ่ม 10.2 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-6y=-22.8$$

หารทั้งสองข้างด้วย -6

$$y=3.8$$

ทดแทน 3.8 สำหรับ y ใน x=-y+6.8 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-3.8+6.8$$

คูณ -1 ด้วย 3.8

$$x=\frac{-19+34}{5}$$

เพิ่ม 6.8 ไปยัง -3.8 ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=3,y=3.8$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2.5x+2.5y=17,-1.5x-7.5y=-33$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7.5}{2.5\left(-7.5\right)-2.5\left(-1.5\right)}&-\frac{2.5}{2.5\left(-7.5\right)-2.5\left(-1.5\right)}\\-\frac{-1.5}{2.5\left(-7.5\right)-2.5\left(-1.5\right)}&\frac{2.5}{2.5\left(-7.5\right)-2.5\left(-1.5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\\-\frac{1}{10}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 17+\frac{1}{6}\left(-33\right)\\-\frac{1}{10}\times 17-\frac{1}{6}\left(-33\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\\frac{19}{5}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=3,y=\frac{19}{5}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2.5x+2.5y=17,-1.5x-7.5y=-33$$

เพื่อทำให้ \frac{5x}{2} และ -\frac{3x}{2} เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -1.5 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2.5

$$-1.5\times 2.5x-1.5\times 2.5y=-1.5\times 17,2.5\left(-1.5\right)x+2.5\left(-7.5\right)y=2.5\left(-33\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-3.75x-3.75y=-25.5,-3.75x-18.75y=-82.5$$

ลบ -3.75x-18.75y=-82.5 จาก -3.75x-3.75y=-25.5 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-3.75x+3.75x-3.75y+18.75y=\frac{-51+165}{2}$$

เพิ่ม -\frac{15x}{4} ไปยัง \frac{15x}{4} ตัดพจน์ -\frac{15x}{4} และ \frac{15x}{4} ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-3.75y+18.75y=\frac{-51+165}{2}$$

เพิ่ม -\frac{15y}{4} ไปยัง \frac{75y}{4}

$$15y=\frac{-51+165}{2}$$

เพิ่ม -25.5 ไปยัง 82.5 ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$15y=57$$

หารทั้งสองข้างด้วย 15

$$y=\frac{19}{5}$$

ทดแทน \frac{19}{5} สำหรับ y ใน -1.5x-7.5y=-33 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-1.5x-7.5\times \frac{19}{5}=-33$$

คูณ -7.5 ครั้ง \frac{19}{5} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$-1.5x-\frac{57}{2}=-33$$

เพิ่ม \frac{57}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-1.5x=-\frac{9}{2}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -1.5 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=3,y=\frac{19}{5}$$