แก้โจทย์ {l}{2y-3x=-27}{5y+3x=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 y - 3 x = - 27 } \\ { 5 y + 3 x = 6 } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x=7$$

$$y=-3$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2y-3x=-27,5y+3x=6$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2y-3x=-27$$

เพิ่ม 3x ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2y=3x-27$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-27\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -27+3x

$$y=\frac{3}{2}x-\frac{27}{2}$$

ทดแทน \frac{-27+3x}{2} สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง 5y+3x=6

$$5\left(\frac{3}{2}x-\frac{27}{2}\right)+3x=6$$

คูณ 5 ด้วย \frac{-27+3x}{2}

$$\frac{15}{2}x-\frac{135}{2}+3x=6$$

เพิ่ม \frac{15x}{2} ไปยัง 3x

$$\frac{21}{2}x-\frac{135}{2}=6$$

เพิ่ม \frac{135}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{21}{2}x=\frac{147}{2}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{21}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=7$$

ทดแทน 7 สำหรับ x ใน y=\frac{3}{2}x-\frac{27}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=\frac{3}{2}\times 7-\frac{27}{2}$$

คูณ \frac{3}{2} ด้วย 7

$$y=\frac{21-27}{2}$$

เพิ่ม -\frac{27}{2} ไปยัง \frac{21}{2} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$y=-3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=-3,x=7$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2y-3x=-27,5y+3x=6$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{2\times 3-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\times 3-\left(-3\times 5\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{5}{21}&\frac{2}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-27\right)+\frac{1}{7}\times 6\\-\frac{5}{21}\left(-27\right)+\frac{2}{21}\times 6\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=-3,x=7$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2y-3x=-27,5y+3x=6$$

เพื่อทำให้ 2y และ 5y เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 5 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$5\times 2y+5\left(-3\right)x=5\left(-27\right),2\times 5y+2\times 3x=2\times 6$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$10y-15x=-135,10y+6x=12$$

ลบ 10y+6x=12 จาก 10y-15x=-135 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$10y-10y-15x-6x=-135-12$$

เพิ่ม 10y ไปยัง -10y ตัดพจน์ 10y และ -10y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-15x-6x=-135-12$$

เพิ่ม -15x ไปยัง -6x

$$-21x=-135-12$$

เพิ่ม -135 ไปยัง -12

$$-21x=-147$$

หารทั้งสองข้างด้วย -21

$$x=7$$

ทดแทน 7 สำหรับ x ใน 5y+3x=6 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$5y+3\times 7=6$$

คูณ 3 ด้วย 7

$$5y+21=6$$

ลบ 21 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5y=-15$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$y=-3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=-3,x=7$$