แก้โจทย์ {l}{2y=-5x-3}{4x-2=-6y}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 y = - 5 x - 3 } \\ { 4 x - 2 = - 6 y } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x=-1$$

$$y=1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม 5x ไปทั้งสองด้าน

$$2y+5x=-3$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 6y ไปทั้งสองด้าน

$$4x-2+6y=0$$

เพิ่ม 2 ไปทั้งสองด้าน สิ่งใดบวกกับศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเอง

$$4x+6y=2$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2y+5x=-3,6y+4x=2$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2y+5x=-3$$

ลบ 5x จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2y=-5x-3$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$y=\frac{1}{2}\left(-5x-3\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -5x-3

$$y=-\frac{5}{2}x-\frac{3}{2}$$

ทดแทน \frac{-5x-3}{2} สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง 6y+4x=2

$$6\left(-\frac{5}{2}x-\frac{3}{2}\right)+4x=2$$

คูณ 6 ด้วย \frac{-5x-3}{2}

$$-15x-9+4x=2$$

เพิ่ม -15x ไปยัง 4x

$$-11x-9=2$$

เพิ่ม 9 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-11x=11$$

หารทั้งสองข้างด้วย -11

$$x=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ x ใน y=-\frac{5}{2}x-\frac{3}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=-\frac{5}{2}\left(-1\right)-\frac{3}{2}$$

คูณ -\frac{5}{2} ด้วย -1

$$y=\frac{5-3}{2}$$

เพิ่ม -\frac{3}{2} ไปยัง \frac{5}{2} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$y=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=1,x=-1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม 5x ไปทั้งสองด้าน

$$2y+5x=-3$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 6y ไปทั้งสองด้าน

$$4x-2+6y=0$$

เพิ่ม 2 ไปทั้งสองด้าน สิ่งใดบวกกับศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเอง

$$4x+6y=2$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2y+5x=-3,6y+4x=2$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&5\\6&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&5\\6&4\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\6&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-5\times 6}&-\frac{5}{2\times 4-5\times 6}\\-\frac{6}{2\times 4-5\times 6}&\frac{2}{2\times 4-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}&\frac{5}{22}\\\frac{3}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}\left(-3\right)+\frac{5}{22}\times 2\\\frac{3}{11}\left(-3\right)-\frac{1}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=1,x=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม 5x ไปทั้งสองด้าน

$$2y+5x=-3$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 6y ไปทั้งสองด้าน

$$4x-2+6y=0$$

เพิ่ม 2 ไปทั้งสองด้าน สิ่งใดบวกกับศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเอง

$$4x+6y=2$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2y+5x=-3,6y+4x=2$$

เพื่อทำให้ 2y และ 6y เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 6 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$6\times 2y+6\times 5x=6\left(-3\right),2\times 6y+2\times 4x=2\times 2$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$12y+30x=-18,12y+8x=4$$

ลบ 12y+8x=4 จาก 12y+30x=-18 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$12y-12y+30x-8x=-18-4$$

เพิ่ม 12y ไปยัง -12y ตัดพจน์ 12y และ -12y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$30x-8x=-18-4$$

เพิ่ม 30x ไปยัง -8x

$$22x=-18-4$$

เพิ่ม -18 ไปยัง -4

$$22x=-22$$

หารทั้งสองข้างด้วย 22

$$x=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ x ใน 6y+4x=2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$6y+4\left(-1\right)=2$$

คูณ 4 ด้วย -1

$$6y-4=2$$

เพิ่ม 4 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$6y=6$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$y=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=1,x=-1$$