แก้โจทย์ {l}{2x_{1}+3x_{2}=7}{4x_{1}-4x_{2}=-6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } = 7 } \\ { 4 x _ { 1 } - 4 x _ { 2 } = - 6 } \end{array} \right.$$

หาค่า x_1, x_2

$$x_{1}=\frac{1}{2}=0.5$$

$$x_{2}=2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x_{1} โดยแยก x_{1} ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x_{1}+3x_{2}=7$$

ลบ 3x_{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x_{1}=-3x_{2}+7$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x_{1}=\frac{1}{2}\left(-3x_{2}+7\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -3x_{2}+7

$$x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}$$

ทดแทน \frac{-3x_{2}+7}{2} สำหรับ x_{1} ในอีกสมการหนึ่ง 4x_{1}-4x_{2}=-6

$$4\left(-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}\right)-4x_{2}=-6$$

คูณ 4 ด้วย \frac{-3x_{2}+7}{2}

$$-6x_{2}+14-4x_{2}=-6$$

เพิ่ม -6x_{2} ไปยัง -4x_{2}

$$-10x_{2}+14=-6$$

ลบ 14 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-10x_{2}=-20$$

หารทั้งสองข้างด้วย -10

$$x_{2}=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ x_{2} ใน x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x_{1} โดยตรงได้

$$x_{1}=-\frac{3}{2}\times 2+\frac{7}{2}$$

คูณ -\frac{3}{2} ด้วย 2

$$x_{1}=-3+\frac{7}{2}$$

เพิ่ม \frac{7}{2} ไปยัง -3

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{20}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 7+\frac{3}{20}\left(-6\right)\\\frac{1}{5}\times 7-\frac{1}{10}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x_{1} และ x_{2}

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

เพื่อทำให้ 2x_{1} และ 4x_{1} เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 4 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$4\times 2x_{1}+4\times 3x_{2}=4\times 7,2\times 4x_{1}+2\left(-4\right)x_{2}=2\left(-6\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$8x_{1}+12x_{2}=28,8x_{1}-8x_{2}=-12$$

ลบ 8x_{1}-8x_{2}=-12 จาก 8x_{1}+12x_{2}=28 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$8x_{1}-8x_{1}+12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

เพิ่ม 8x_{1} ไปยัง -8x_{1} ตัดพจน์ 8x_{1} และ -8x_{1} ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

เพิ่ม 12x_{2} ไปยัง 8x_{2}

$$20x_{2}=28+12$$

เพิ่ม 28 ไปยัง 12

$$20x_{2}=40$$

หารทั้งสองข้างด้วย 20

$$x_{2}=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ x_{2} ใน 4x_{1}-4x_{2}=-6 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x_{1} โดยตรงได้

$$4x_{1}-4\times 2=-6$$

คูณ -4 ด้วย 2

$$4x_{1}-8=-6$$

เพิ่ม 8 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$4x_{1}=2$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$