แก้โจทย์ {l}{2x-y=0}{5x-2y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - y = 0 } \\ { 5 x - 2 y = 1 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x-y=0,5x-2y=1$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-y=0$$

เพิ่ม y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=y$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}y$$

ทดแทน \frac{y}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 5x-2y=1

$$5\times \frac{1}{2}y-2y=1$$

คูณ 5 ด้วย \frac{y}{2}

$$\frac{5}{2}y-2y=1$$

เพิ่ม \frac{5y}{2} ไปยัง -2y

$$\frac{1}{2}y=1$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 2

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน x=\frac{1}{2}y เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{1}{2}\times 2$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย 2

$$x=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=1,y=2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x-y=0,5x-2y=1$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&-1\\5&-2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{2\left(-2\right)-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{2\left(-2\right)-\left(-5\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&1\\-5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=1,y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x-y=0,5x-2y=1$$

เพื่อทำให้ 2x และ 5x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 5 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$5\times 2x+5\left(-1\right)y=0,2\times 5x+2\left(-2\right)y=2$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$10x-5y=0,10x-4y=2$$

ลบ 10x-4y=2 จาก 10x-5y=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$10x-10x-5y+4y=-2$$

เพิ่ม 10x ไปยัง -10x ตัดพจน์ 10x และ -10x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-5y+4y=-2$$

เพิ่ม -5y ไปยัง 4y

$$-y=-2$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน 5x-2y=1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$5x-2\times 2=1$$

คูณ -2 ด้วย 2

$$5x-4=1$$

เพิ่ม 4 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=5$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=1,y=2$$