แก้โจทย์ {l}{2x-9y=108}{8x+6y=48}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 9 y = 108 } \\ { 8 x + 6 y = 48 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{90}{7} = 12\frac{6}{7} \approx 12.857142857$$

$$y = -\frac{64}{7} = -9\frac{1}{7} \approx -9.142857143$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x-9y=108,8x+6y=48$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-9y=108$$

เพิ่ม 9y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=9y+108$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(9y+108\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย 108+9y

$$x=\frac{9}{2}y+54$$

ทดแทน 54+\frac{9y}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 8x+6y=48

$$8\left(\frac{9}{2}y+54\right)+6y=48$$

คูณ 8 ด้วย 54+\frac{9y}{2}

$$36y+432+6y=48$$

เพิ่ม 36y ไปยัง 6y

$$42y+432=48$$

ลบ 432 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$42y=-384$$

หารทั้งสองข้างด้วย 42

$$y=-\frac{64}{7}$$

ทดแทน -\frac{64}{7} สำหรับ y ใน x=\frac{9}{2}y+54 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{9}{2}\left(-\frac{64}{7}\right)+54$$

คูณ \frac{9}{2} ครั้ง -\frac{64}{7} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{288}{7}+54$$

เพิ่ม 54 ไปยัง -\frac{288}{7}

$$x=\frac{90}{7}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{90}{7},y=-\frac{64}{7}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x-9y=108,8x+6y=48$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&-9\\8&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}108\\48\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&-9\\8&6\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-9\\8&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-9\\8&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-9\\8&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}108\\48\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-9\\8&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}108\\48\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-9\\8&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}108\\48\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{2\times 6-\left(-9\times 8\right)}&-\frac{-9}{2\times 6-\left(-9\times 8\right)}\\-\frac{8}{2\times 6-\left(-9\times 8\right)}&\frac{2}{2\times 6-\left(-9\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}108\\48\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{28}\\-\frac{2}{21}&\frac{1}{42}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}108\\48\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 108+\frac{3}{28}\times 48\\-\frac{2}{21}\times 108+\frac{1}{42}\times 48\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{90}{7}\\-\frac{64}{7}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{90}{7},y=-\frac{64}{7}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x-9y=108,8x+6y=48$$

เพื่อทำให้ 2x และ 8x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 8 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$8\times 2x+8\left(-9\right)y=8\times 108,2\times 8x+2\times 6y=2\times 48$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$16x-72y=864,16x+12y=96$$

ลบ 16x+12y=96 จาก 16x-72y=864 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$16x-16x-72y-12y=864-96$$

เพิ่ม 16x ไปยัง -16x ตัดพจน์ 16x และ -16x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-72y-12y=864-96$$

เพิ่ม -72y ไปยัง -12y

$$-84y=864-96$$

เพิ่ม 864 ไปยัง -96

$$-84y=768$$

หารทั้งสองข้างด้วย -84

$$y=-\frac{64}{7}$$

ทดแทน -\frac{64}{7} สำหรับ y ใน 8x+6y=48 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$8x+6\left(-\frac{64}{7}\right)=48$$

คูณ 6 ด้วย -\frac{64}{7}

$$8x-\frac{384}{7}=48$$

เพิ่ม \frac{384}{7} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$8x=\frac{720}{7}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 8

$$x=\frac{90}{7}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{90}{7},y=-\frac{64}{7}$$