แก้โจทย์ {l}{2x-8=y-4}{8x-2y=18}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 8 = y - 4 } \\ { 8 x - 2 y = 18 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$y=1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$2x-8-y=-4$$

เพิ่ม 8 ไปทั้งสองด้าน

$$2x-y=-4+8$$

เพิ่ม -4 และ 8 เพื่อให้ได้รับ 4

$$2x-y=4$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x-y=4,8x-2y=18$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-y=4$$

เพิ่ม y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=y+4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(y+4\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย y+4

$$x=\frac{1}{2}y+2$$

ทดแทน \frac{y}{2}+2 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 8x-2y=18

$$8\left(\frac{1}{2}y+2\right)-2y=18$$

คูณ 8 ด้วย \frac{y}{2}+2

$$4y+16-2y=18$$

เพิ่ม 4y ไปยัง -2y

$$2y+16=18$$

ลบ 16 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2y=2$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$y=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ y ใน x=\frac{1}{2}y+2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{1}{2}+2$$

เพิ่ม 2 ไปยัง \frac{1}{2}

$$x=\frac{5}{2}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{5}{2},y=1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$2x-8-y=-4$$

เพิ่ม 8 ไปทั้งสองด้าน

$$2x-y=-4+8$$

เพิ่ม -4 และ 8 เพื่อให้ได้รับ 4

$$2x-y=4$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x-y=4,8x-2y=18$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\8&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&-1\\8&-2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\8&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-8\right)}&-\frac{-1}{2\left(-2\right)-\left(-8\right)}\\-\frac{8}{2\left(-2\right)-\left(-8\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\-2&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 4+\frac{1}{4}\times 18\\-2\times 4+\frac{1}{2}\times 18\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{5}{2},y=1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$2x-8-y=-4$$

เพิ่ม 8 ไปทั้งสองด้าน

$$2x-y=-4+8$$

เพิ่ม -4 และ 8 เพื่อให้ได้รับ 4

$$2x-y=4$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x-y=4,8x-2y=18$$

เพื่อทำให้ 2x และ 8x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 8 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$8\times 2x+8\left(-1\right)y=8\times 4,2\times 8x+2\left(-2\right)y=2\times 18$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$16x-8y=32,16x-4y=36$$

ลบ 16x-4y=36 จาก 16x-8y=32 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$16x-16x-8y+4y=32-36$$

เพิ่ม 16x ไปยัง -16x ตัดพจน์ 16x และ -16x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-8y+4y=32-36$$

เพิ่ม -8y ไปยัง 4y

$$-4y=32-36$$

เพิ่ม 32 ไปยัง -36

$$-4y=-4$$

หารทั้งสองข้างด้วย -4

$$y=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ y ใน 8x-2y=18 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$8x-2=18$$

เพิ่ม 2 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$8x=20$$

หารทั้งสองข้างด้วย 8

$$x=\frac{5}{2}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{5}{2},y=1$$