แก้โจทย์ {l}{2x-6y=16}{-x+2y=-4}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 6 y = 16 } \\ { - x + 2 y = - 4 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-4$$

$$y=-4$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x-6y=16,-x+2y=-4$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-6y=16$$

เพิ่ม 6y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=6y+16$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(6y+16\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย 6y+16

$$x=3y+8$$

ทดแทน 3y+8 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -x+2y=-4

$$-\left(3y+8\right)+2y=-4$$

คูณ -1 ด้วย 3y+8

$$-3y-8+2y=-4$$

เพิ่ม -3y ไปยัง 2y

$$-y-8=-4$$

เพิ่ม 8 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-y=4$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$y=-4$$

ทดแทน -4 สำหรับ y ใน x=3y+8 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=3\left(-4\right)+8$$

คูณ 3 ด้วย -4

$$x=-12+8$$

เพิ่ม 8 ไปยัง -12

$$x=-4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-4,y=-4$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x-6y=16,-x+2y=-4$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&-6\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\-4\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&-6\\-1&2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-6\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-4\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-4\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-6\left(-1\right)\right)}&-\frac{-6}{2\times 2-\left(-6\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2\times 2-\left(-6\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-6\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-3\\-\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16-3\left(-4\right)\\-\frac{1}{2}\times 16-\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-4\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-4,y=-4$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x-6y=16,-x+2y=-4$$

เพื่อทำให้ 2x และ -x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$-2x-\left(-6y\right)=-16,2\left(-1\right)x+2\times 2y=2\left(-4\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-2x+6y=-16,-2x+4y=-8$$

ลบ -2x+4y=-8 จาก -2x+6y=-16 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-2x+2x+6y-4y=-16+8$$

เพิ่ม -2x ไปยัง 2x ตัดพจน์ -2x และ 2x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$6y-4y=-16+8$$

เพิ่ม 6y ไปยัง -4y

$$2y=-16+8$$

เพิ่ม -16 ไปยัง 8

$$2y=-8$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$y=-4$$

ทดแทน -4 สำหรับ y ใน -x+2y=-4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-x+2\left(-4\right)=-4$$

คูณ 2 ด้วย -4

$$-x-8=-4$$

เพิ่ม 8 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-x=4$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$x=-4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-4,y=-4$$