แก้โจทย์ {l}{2x-5y=10}{4x+y=120}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = 10 } \\ { 4 x + y = 120 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{305}{11} = 27\frac{8}{11} \approx 27.727272727$$

$$y = \frac{100}{11} = 9\frac{1}{11} \approx 9.090909091$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x-5y=10,4x+y=120$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-5y=10$$

เพิ่ม 5y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=5y+10$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(5y+10\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย 10+5y

$$x=\frac{5}{2}y+5$$

ทดแทน 5+\frac{5y}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 4x+y=120

$$4\left(\frac{5}{2}y+5\right)+y=120$$

คูณ 4 ด้วย 5+\frac{5y}{2}

$$10y+20+y=120$$

เพิ่ม 10y ไปยัง y

$$11y+20=120$$

ลบ 20 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$11y=100$$

หารทั้งสองข้างด้วย 11

$$y=\frac{100}{11}$$

ทดแทน \frac{100}{11} สำหรับ y ใน x=\frac{5}{2}y+5 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{5}{2}\times \frac{100}{11}+5$$

คูณ \frac{5}{2} ครั้ง \frac{100}{11} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{250}{11}+5$$

เพิ่ม 5 ไปยัง \frac{250}{11}

$$x=\frac{305}{11}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{305}{11},y=\frac{100}{11}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x-5y=10,4x+y=120$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\120\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\120\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\120\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\120\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{2-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{2-\left(-5\times 4\right)}&\frac{2}{2-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\120\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}&\frac{5}{22}\\-\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\120\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}\times 10+\frac{5}{22}\times 120\\-\frac{2}{11}\times 10+\frac{1}{11}\times 120\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{305}{11}\\\frac{100}{11}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{305}{11},y=\frac{100}{11}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x-5y=10,4x+y=120$$

เพื่อทำให้ 2x และ 4x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 4 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$4\times 2x+4\left(-5\right)y=4\times 10,2\times 4x+2y=2\times 120$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$8x-20y=40,8x+2y=240$$

ลบ 8x+2y=240 จาก 8x-20y=40 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$8x-8x-20y-2y=40-240$$

เพิ่ม 8x ไปยัง -8x ตัดพจน์ 8x และ -8x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-20y-2y=40-240$$

เพิ่ม -20y ไปยัง -2y

$$-22y=40-240$$

เพิ่ม 40 ไปยัง -240

$$-22y=-200$$

หารทั้งสองข้างด้วย -22

$$y=\frac{100}{11}$$

ทดแทน \frac{100}{11} สำหรับ y ใน 4x+y=120 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$4x+\frac{100}{11}=120$$

ลบ \frac{100}{11} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=\frac{1220}{11}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=\frac{305}{11}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{305}{11},y=\frac{100}{11}$$