แก้โจทย์ {l}{2x-4y=10}{6x-4y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 4 y = 10 } \\ { 6 x - 4 y = 11 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$y = -\frac{19}{8} = -2\frac{3}{8} = -2.375$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x-4y=10,6x-4y=11$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-4y=10$$

เพิ่ม 4y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=4y+10$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(4y+10\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย 4y+10

$$x=2y+5$$

ทดแทน 2y+5 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 6x-4y=11

$$6\left(2y+5\right)-4y=11$$

คูณ 6 ด้วย 2y+5

$$12y+30-4y=11$$

เพิ่ม 12y ไปยัง -4y

$$8y+30=11$$

ลบ 30 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$8y=-19$$

หารทั้งสองข้างด้วย 8

$$y=-\frac{19}{8}$$

ทดแทน -\frac{19}{8} สำหรับ y ใน x=2y+5 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=2\left(-\frac{19}{8}\right)+5$$

คูณ 2 ด้วย -\frac{19}{8}

$$x=-\frac{19}{4}+5$$

เพิ่ม 5 ไปยัง -\frac{19}{4}

$$x=\frac{1}{4}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{1}{4},y=-\frac{19}{8}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x-4y=10,6x-4y=11$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}&-\frac{-4}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}\\-\frac{6}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}&\frac{2}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 10+\frac{1}{4}\times 11\\-\frac{3}{8}\times 10+\frac{1}{8}\times 11\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\-\frac{19}{8}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{1}{4},y=-\frac{19}{8}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x-4y=10,6x-4y=11$$

ลบ 6x-4y=11 จาก 2x-4y=10 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-6x-4y+4y=10-11$$

เพิ่ม -4y ไปยัง 4y ตัดพจน์ -4y และ 4y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$2x-6x=10-11$$

เพิ่ม 2x ไปยัง -6x

$$-4x=10-11$$

เพิ่ม 10 ไปยัง -11

$$-4x=-1$$

หารทั้งสองข้างด้วย -4

$$x=\frac{1}{4}$$

ทดแทน \frac{1}{4} สำหรับ x ใน 6x-4y=11 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$6\times \frac{1}{4}-4y=11$$

คูณ 6 ด้วย \frac{1}{4}

$$\frac{3}{2}-4y=11$$

ลบ \frac{3}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-4y=\frac{19}{2}$$

หารทั้งสองข้างด้วย -4

$$y=-\frac{19}{8}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{1}{4},y=-\frac{19}{8}$$