แก้โจทย์ {l}{2x-3y-10=0}{2y=-17-3x}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y - 10 = 0 } \\ { 2 y = - 17 - 3 x } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = -\frac{31}{13} = -2\frac{5}{13} \approx -2.384615385$$

$$y = -\frac{64}{13} = -4\frac{12}{13} \approx -4.923076923$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม 10 ไปทั้งสองด้าน สิ่งใดบวกกับศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเอง

$$2x-3y=10$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 3x ไปทั้งสองด้าน

$$2y+3x=-17$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x-3y=10,3x+2y=-17$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-3y=10$$

เพิ่ม 3y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=3y+10$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+10\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย 3y+10

$$x=\frac{3}{2}y+5$$

ทดแทน \frac{3y}{2}+5 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 3x+2y=-17

$$3\left(\frac{3}{2}y+5\right)+2y=-17$$

คูณ 3 ด้วย \frac{3y}{2}+5

$$\frac{9}{2}y+15+2y=-17$$

เพิ่ม \frac{9y}{2} ไปยัง 2y

$$\frac{13}{2}y+15=-17$$

ลบ 15 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{13}{2}y=-32$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{13}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-\frac{64}{13}$$

ทดแทน -\frac{64}{13} สำหรับ y ใน x=\frac{3}{2}y+5 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{64}{13}\right)+5$$

คูณ \frac{3}{2} ครั้ง -\frac{64}{13} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{96}{13}+5$$

เพิ่ม 5 ไปยัง -\frac{96}{13}

$$x=-\frac{31}{13}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{31}{13},y=-\frac{64}{13}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม 10 ไปทั้งสองด้าน สิ่งใดบวกกับศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเอง

$$2x-3y=10$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 3x ไปทั้งสองด้าน

$$2y+3x=-17$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x-3y=10,3x+2y=-17$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 10+\frac{3}{13}\left(-17\right)\\-\frac{3}{13}\times 10+\frac{2}{13}\left(-17\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{31}{13}\\-\frac{64}{13}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{31}{13},y=-\frac{64}{13}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม 10 ไปทั้งสองด้าน สิ่งใดบวกกับศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเอง

$$2x-3y=10$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 3x ไปทั้งสองด้าน

$$2y+3x=-17$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x-3y=10,3x+2y=-17$$

เพื่อทำให้ 2x และ 3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 10,2\times 3x+2\times 2y=2\left(-17\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$6x-9y=30,6x+4y=-34$$

ลบ 6x+4y=-34 จาก 6x-9y=30 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6x-6x-9y-4y=30+34$$

เพิ่ม 6x ไปยัง -6x ตัดพจน์ 6x และ -6x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-9y-4y=30+34$$

เพิ่ม -9y ไปยัง -4y

$$-13y=30+34$$

เพิ่ม 30 ไปยัง 34

$$-13y=64$$

หารทั้งสองข้างด้วย -13

$$y=-\frac{64}{13}$$

ทดแทน -\frac{64}{13} สำหรับ y ใน 3x+2y=-17 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$3x+2\left(-\frac{64}{13}\right)=-17$$

คูณ 2 ด้วย -\frac{64}{13}

$$3x-\frac{128}{13}=-17$$

เพิ่ม \frac{128}{13} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=-\frac{93}{13}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=-\frac{31}{13}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{31}{13},y=-\frac{64}{13}$$