แก้โจทย์ {l}{2x-3y-10=0}{17y=-11-3x}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y - 10 = 0 } \\ { 17 y = - 11 - 3 x } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{137}{43} = 3\frac{8}{43} \approx 3.186046512$$

$$y = -\frac{52}{43} = -1\frac{9}{43} \approx -1.209302326$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม 10 ไปทั้งสองด้าน สิ่งใดบวกกับศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเอง

$$2x-3y=10$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 3x ไปทั้งสองด้าน

$$17y+3x=-11$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x-3y=10,3x+17y=-11$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-3y=10$$

เพิ่ม 3y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=3y+10$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+10\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย 3y+10

$$x=\frac{3}{2}y+5$$

ทดแทน \frac{3y}{2}+5 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 3x+17y=-11

$$3\left(\frac{3}{2}y+5\right)+17y=-11$$

คูณ 3 ด้วย \frac{3y}{2}+5

$$\frac{9}{2}y+15+17y=-11$$

เพิ่ม \frac{9y}{2} ไปยัง 17y

$$\frac{43}{2}y+15=-11$$

ลบ 15 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{43}{2}y=-26$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{43}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-\frac{52}{43}$$

ทดแทน -\frac{52}{43} สำหรับ y ใน x=\frac{3}{2}y+5 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{52}{43}\right)+5$$

คูณ \frac{3}{2} ครั้ง -\frac{52}{43} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{78}{43}+5$$

เพิ่ม 5 ไปยัง -\frac{78}{43}

$$x=\frac{137}{43}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{137}{43},y=-\frac{52}{43}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม 10 ไปทั้งสองด้าน สิ่งใดบวกกับศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเอง

$$2x-3y=10$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 3x ไปทั้งสองด้าน

$$17y+3x=-11$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x-3y=10,3x+17y=-11$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{2\times 17-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 17-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 17-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 17-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{43}&\frac{3}{43}\\-\frac{3}{43}&\frac{2}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{43}\times 10+\frac{3}{43}\left(-11\right)\\-\frac{3}{43}\times 10+\frac{2}{43}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{137}{43}\\-\frac{52}{43}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{137}{43},y=-\frac{52}{43}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม 10 ไปทั้งสองด้าน สิ่งใดบวกกับศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเอง

$$2x-3y=10$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 3x ไปทั้งสองด้าน

$$17y+3x=-11$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x-3y=10,3x+17y=-11$$

เพื่อทำให้ 2x และ 3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 10,2\times 3x+2\times 17y=2\left(-11\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$6x-9y=30,6x+34y=-22$$

ลบ 6x+34y=-22 จาก 6x-9y=30 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6x-6x-9y-34y=30+22$$

เพิ่ม 6x ไปยัง -6x ตัดพจน์ 6x และ -6x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-9y-34y=30+22$$

เพิ่ม -9y ไปยัง -34y

$$-43y=30+22$$

เพิ่ม 30 ไปยัง 22

$$-43y=52$$

หารทั้งสองข้างด้วย -43

$$y=-\frac{52}{43}$$

ทดแทน -\frac{52}{43} สำหรับ y ใน 3x+17y=-11 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$3x+17\left(-\frac{52}{43}\right)=-11$$

คูณ 17 ด้วย -\frac{52}{43}

$$3x-\frac{884}{43}=-11$$

เพิ่ม \frac{884}{43} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=\frac{411}{43}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{137}{43}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{137}{43},y=-\frac{52}{43}$$