แก้โจทย์ {l}{2x-3y=4}{5x-y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 4 } \\ { 5 x - y = 2 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=\frac{2}{13}\approx 0.153846154$$

$$y = -\frac{16}{13} = -1\frac{3}{13} \approx -1.230769231$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x-3y=4,5x-y=2$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-3y=4$$

เพิ่ม 3y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=3y+4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+4\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย 3y+4

$$x=\frac{3}{2}y+2$$

ทดแทน \frac{3y}{2}+2 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 5x-y=2

$$5\left(\frac{3}{2}y+2\right)-y=2$$

คูณ 5 ด้วย \frac{3y}{2}+2

$$\frac{15}{2}y+10-y=2$$

เพิ่ม \frac{15y}{2} ไปยัง -y

$$\frac{13}{2}y+10=2$$

ลบ 10 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{13}{2}y=-8$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{13}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-\frac{16}{13}$$

ทดแทน -\frac{16}{13} สำหรับ y ใน x=\frac{3}{2}y+2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{16}{13}\right)+2$$

คูณ \frac{3}{2} ครั้ง -\frac{16}{13} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{24}{13}+2$$

เพิ่ม 2 ไปยัง -\frac{24}{13}

$$x=\frac{2}{13}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{2}{13},y=-\frac{16}{13}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x-3y=4,5x-y=2$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{5}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\times 4+\frac{3}{13}\times 2\\-\frac{5}{13}\times 4+\frac{2}{13}\times 2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\\-\frac{16}{13}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{2}{13},y=-\frac{16}{13}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x-3y=4,5x-y=2$$

เพื่อทำให้ 2x และ 5x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 5 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$5\times 2x+5\left(-3\right)y=5\times 4,2\times 5x+2\left(-1\right)y=2\times 2$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$10x-15y=20,10x-2y=4$$

ลบ 10x-2y=4 จาก 10x-15y=20 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$10x-10x-15y+2y=20-4$$

เพิ่ม 10x ไปยัง -10x ตัดพจน์ 10x และ -10x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-15y+2y=20-4$$

เพิ่ม -15y ไปยัง 2y

$$-13y=20-4$$

เพิ่ม 20 ไปยัง -4

$$-13y=16$$

หารทั้งสองข้างด้วย -13

$$y=-\frac{16}{13}$$

ทดแทน -\frac{16}{13} สำหรับ y ใน 5x-y=2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$5x-\left(-\frac{16}{13}\right)=2$$

ลบ \frac{16}{13} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=\frac{10}{13}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{2}{13}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{2}{13},y=-\frac{16}{13}$$