แก้โจทย์ {l}{2x-2+4y=1/2}{8(y-1/2)=9(x+1)-4}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 2 + 4 y = \frac { 1 } { 2 } } \\ { 8 ( y - \frac { 1 } { 2 } ) = 9 ( x + 1 ) - 4 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-\frac{4}{13}\approx -0.307692308$$

$$y=\frac{81}{104}\approx 0.778846154$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม 2 ไปทั้งสองด้าน

$$2x+4y=\frac{1}{2}+2$$

เพิ่ม \frac{1}{2} และ 2 เพื่อให้ได้รับ \frac{5}{2}

$$2x+4y=\frac{5}{2}$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 8 ด้วย y-\frac{1}{2}

$$8y-4=9\left(x+1\right)-4$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 9 ด้วย x+1

$$8y-4=9x+9-4$$

ลบ 4 จาก 9 เพื่อรับ 5

$$8y-4=9x+5$$

ลบ 9x จากทั้งสองด้าน

$$8y-4-9x=5$$

เพิ่ม 4 ไปทั้งสองด้าน

$$8y-9x=5+4$$

เพิ่ม 5 และ 4 เพื่อให้ได้รับ 9

$$8y-9x=9$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x+4y=\frac{5}{2},-9x+8y=9$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x+4y=\frac{5}{2}$$

ลบ 4y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-4y+\frac{5}{2}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+\frac{5}{2}\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -4y+\frac{5}{2}

$$x=-2y+\frac{5}{4}$$

ทดแทน -2y+\frac{5}{4} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -9x+8y=9

$$-9\left(-2y+\frac{5}{4}\right)+8y=9$$

คูณ -9 ด้วย -2y+\frac{5}{4}

$$18y-\frac{45}{4}+8y=9$$

เพิ่ม 18y ไปยัง 8y

$$26y-\frac{45}{4}=9$$

เพิ่ม \frac{45}{4} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$26y=\frac{81}{4}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 26

$$y=\frac{81}{104}$$

ทดแทน \frac{81}{104} สำหรับ y ใน x=-2y+\frac{5}{4} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-2\times \frac{81}{104}+\frac{5}{4}$$

คูณ -2 ด้วย \frac{81}{104}

$$x=-\frac{81}{52}+\frac{5}{4}$$

เพิ่ม \frac{5}{4} ไปยัง -\frac{81}{52} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{4}{13}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{4}{13},y=\frac{81}{104}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม 2 ไปทั้งสองด้าน

$$2x+4y=\frac{1}{2}+2$$

เพิ่ม \frac{1}{2} และ 2 เพื่อให้ได้รับ \frac{5}{2}

$$2x+4y=\frac{5}{2}$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 8 ด้วย y-\frac{1}{2}

$$8y-4=9\left(x+1\right)-4$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 9 ด้วย x+1

$$8y-4=9x+9-4$$

ลบ 4 จาก 9 เพื่อรับ 5

$$8y-4=9x+5$$

ลบ 9x จากทั้งสองด้าน

$$8y-4-9x=5$$

เพิ่ม 4 ไปทั้งสองด้าน

$$8y-9x=5+4$$

เพิ่ม 5 และ 4 เพื่อให้ได้รับ 9

$$8y-9x=9$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x+4y=\frac{5}{2},-9x+8y=9$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{2\times 8-4\left(-9\right)}&-\frac{4}{2\times 8-4\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{2\times 8-4\left(-9\right)}&\frac{2}{2\times 8-4\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&-\frac{1}{13}\\\frac{9}{52}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times \frac{5}{2}-\frac{1}{13}\times 9\\\frac{9}{52}\times \frac{5}{2}+\frac{1}{26}\times 9\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{13}\\\frac{81}{104}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{4}{13},y=\frac{81}{104}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม 2 ไปทั้งสองด้าน

$$2x+4y=\frac{1}{2}+2$$

เพิ่ม \frac{1}{2} และ 2 เพื่อให้ได้รับ \frac{5}{2}

$$2x+4y=\frac{5}{2}$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 8 ด้วย y-\frac{1}{2}

$$8y-4=9\left(x+1\right)-4$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 9 ด้วย x+1

$$8y-4=9x+9-4$$

ลบ 4 จาก 9 เพื่อรับ 5

$$8y-4=9x+5$$

ลบ 9x จากทั้งสองด้าน

$$8y-4-9x=5$$

เพิ่ม 4 ไปทั้งสองด้าน

$$8y-9x=5+4$$

เพิ่ม 5 และ 4 เพื่อให้ได้รับ 9

$$8y-9x=9$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x+4y=\frac{5}{2},-9x+8y=9$$

เพื่อทำให้ 2x และ -9x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -9 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$-9\times 2x-9\times 4y=-9\times \frac{5}{2},2\left(-9\right)x+2\times 8y=2\times 9$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-18x-36y=-\frac{45}{2},-18x+16y=18$$

ลบ -18x+16y=18 จาก -18x-36y=-\frac{45}{2} โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-18x+18x-36y-16y=-\frac{45}{2}-18$$

เพิ่ม -18x ไปยัง 18x ตัดพจน์ -18x และ 18x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-36y-16y=-\frac{45}{2}-18$$

เพิ่ม -36y ไปยัง -16y

$$-52y=-\frac{45}{2}-18$$

เพิ่ม -\frac{45}{2} ไปยัง -18

$$-52y=-\frac{81}{2}$$

หารทั้งสองข้างด้วย -52

$$y=\frac{81}{104}$$

ทดแทน \frac{81}{104} สำหรับ y ใน -9x+8y=9 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-9x+8\times \frac{81}{104}=9$$

คูณ 8 ด้วย \frac{81}{104}

$$-9x+\frac{81}{13}=9$$

ลบ \frac{81}{13} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-9x=\frac{36}{13}$$

หารทั้งสองข้างด้วย -9

$$x=-\frac{4}{13}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{4}{13},y=\frac{81}{104}$$