แก้โจทย์ {l}{2x+y=17}{5x-5y=5}

หาค่า x, y

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

กราฟ

แบบทดสอบ

Simultaneous Equation

โจทย์ปัญหาที่คล้ายคลึงกันจากการค้นหาในเว็บ

https://socratic.org/questions/what-is-3x-8y-20-5x-y-19

https://math.stackexchange.com/questions/2452308/is-this-transformation-onto

https://math.stackexchange.com/questions/857176/find-the-equation-of-the-plane-passing-through-p0-0-1-and-containing-x-y-z

แชร์

คัดลอกไปยังคลิปบอร์ดแล้ว

2x+y=17,5x-5y=5

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

2x+y=17

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

2x=-y+17

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

x=\frac{1}{2}\left(-y+17\right)

หารทั้งสองข้างด้วย 2

x=-\frac{1}{2}y+\frac{17}{2}

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -y+17

5\left(-\frac{1}{2}y+\frac{17}{2}\right)-5y=5

ทดแทน \frac{-y+17}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 5x-5y=5

-\frac{5}{2}y+\frac{85}{2}-5y=5

คูณ 5 ด้วย \frac{-y+17}{2}

-\frac{15}{2}y+\frac{85}{2}=5

เพิ่ม -\frac{5y}{2} ไปยัง -5y

-\frac{15}{2}y=-\frac{75}{2}

ลบ \frac{85}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

y=5

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{15}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

x=-\frac{1}{2}\times 5+\frac{17}{2}

ทดแทน 5 สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{2}y+\frac{17}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

x=\frac{-5+17}{2}

คูณ -\frac{1}{2} ด้วย 5

x=6

เพิ่ม \frac{17}{2} ไปยัง -\frac{5}{2} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

x=6,y=5

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

2x+y=17,5x-5y=5

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

\left(\begin{matrix}2&1\\5&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\5\end{matrix}\right)

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\5&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\5\end{matrix}\right)

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&1\\5&-5\end{matrix}\right)

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\5\end{matrix}\right)

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\5\end{matrix}\right)

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-5}&-\frac{1}{2\left(-5\right)-5}\\-\frac{5}{2\left(-5\right)-5}&\frac{2}{2\left(-5\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\5\end{matrix}\right)

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{15}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\5\end{matrix}\right)

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 17+\frac{1}{15}\times 5\\\frac{1}{3}\times 17-\frac{2}{15}\times 5\end{matrix}\right)

คูณเมทริกซ์

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\5\end{matrix}\right)

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

x=6,y=5

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

2x+y=17,5x-5y=5

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

5\times 2x+5y=5\times 17,2\times 5x+2\left(-5\right)y=2\times 5

เพื่อทำให้ 2x และ 5x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 5 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

10x+5y=85,10x-10y=10

ทำให้ง่ายขึ้น

10x-10x+5y+10y=85-10