แก้โจทย์ {l}{2x+y=1}{3x+y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 1 } \\ { 3 x + y = 5 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=4$$

$$y=-7$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x+y=1,3x+y=5$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x+y=1$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-y+1$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+1\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -y+1

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

ทดแทน \frac{-y+1}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 3x+y=5

$$3\left(-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)+y=5$$

คูณ 3 ด้วย \frac{-y+1}{2}

$$-\frac{3}{2}y+\frac{3}{2}+y=5$$

เพิ่ม -\frac{3y}{2} ไปยัง y

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}=5$$

ลบ \frac{3}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{1}{2}y=\frac{7}{2}$$

คูณทั้งสองข้างด้วย -2

$$y=-7$$

ทดแทน -7 สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{2}\left(-7\right)+\frac{1}{2}$$

คูณ -\frac{1}{2} ด้วย -7

$$x=\frac{7+1}{2}$$

เพิ่ม \frac{1}{2} ไปยัง \frac{7}{2} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=4,y=-7$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x+y=1,3x+y=5$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3}&-\frac{1}{2-3}\\-\frac{3}{2-3}&\frac{2}{2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1+5\\3-2\times 5\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-7\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=4,y=-7$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x+y=1,3x+y=5$$

ลบ 3x+y=5 จาก 2x+y=1 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-3x+y-y=1-5$$

เพิ่ม y ไปยัง -y ตัดพจน์ y และ -y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$2x-3x=1-5$$

เพิ่ม 2x ไปยัง -3x

$$-x=1-5$$

เพิ่ม 1 ไปยัง -5

$$-x=-4$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$x=4$$

ทดแทน 4 สำหรับ x ใน 3x+y=5 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$3\times 4+y=5$$

คูณ 3 ด้วย 4

$$12+y=5$$

ลบ 12 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$y=-7$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=4,y=-7$$