แก้โจทย์ {l}{2x+y=-6}{y=7x+3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = - 6 } \\ { y = 7 x + 3 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-1$$

$$y=-4$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 7x จากทั้งสองด้าน

$$y-7x=3$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x+y=-6,-7x+y=3$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x+y=-6$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-y-6$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-6\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -y-6

$$x=-\frac{1}{2}y-3$$

ทดแทน -\frac{y}{2}-3 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -7x+y=3

$$-7\left(-\frac{1}{2}y-3\right)+y=3$$

คูณ -7 ด้วย -\frac{y}{2}-3

$$\frac{7}{2}y+21+y=3$$

เพิ่ม \frac{7y}{2} ไปยัง y

$$\frac{9}{2}y+21=3$$

ลบ 21 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{9}{2}y=-18$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{9}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-4$$

ทดแทน -4 สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{2}y-3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{2}\left(-4\right)-3$$

คูณ -\frac{1}{2} ด้วย -4

$$x=2-3$$

เพิ่ม -3 ไปยัง 2

$$x=-1$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=-1,y=-4$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 7x จากทั้งสองด้าน

$$y-7x=3$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x+y=-6,-7x+y=3$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

สำหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถถูกเขียนขึ้นเป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-7\right)}&-\frac{1}{2-\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{2-\left(-7\right)}&\frac{2}{2-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{9}\\\frac{7}{9}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-6\right)-\frac{1}{9}\times 3\\\frac{7}{9}\left(-6\right)+\frac{2}{9}\times 3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-4\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-1,y=-4$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 7x จากทั้งสองด้าน

$$y-7x=3$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x+y=-6,-7x+y=3$$

ลบ -7x+y=3 จาก 2x+y=-6 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x+7x+y-y=-6-3$$

เพิ่ม y ไปยัง -y ตัดพจน์ y และ -y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$2x+7x=-6-3$$

เพิ่ม 2x ไปยัง 7x

$$9x=-6-3$$

เพิ่ม -6 ไปยัง -3

$$9x=-9$$

หารทั้งสองข้างด้วย 9

$$x=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ x ใน -7x+y=3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$-7\left(-1\right)+y=3$$

คูณ -7 ด้วย -1

$$7+y=3$$

ลบ 7 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$y=-4$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=-1,y=-4$$