แก้โจทย์ {l}{2x+9y=19}{4x+my=53}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 9 y = 19 } \\ { 4 x + m y = 53 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-\frac{477-19m}{2\left(m-18\right)}$$

$$y=\frac{15}{m-18}$$

$$m\neq 18$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x+9y=19$$

ลบ 9y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-9y+19$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(-9y+19\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -9y+19

$$x=-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2}$$

ทดแทน \frac{-9y+19}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 4x+my=53

$$4\left(-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2}\right)+my=53$$

คูณ 4 ด้วย \frac{-9y+19}{2}

$$-18y+38+my=53$$

เพิ่ม -18y ไปยัง my

$$\left(m-18\right)y+38=53$$

ลบ 38 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\left(m-18\right)y=15$$

หารทั้งสองข้างด้วย -18+m

$$y=\frac{15}{m-18}$$

ทดแทน \frac{15}{-18+m} สำหรับ y ใน x=-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{9}{2}\times \frac{15}{m-18}+\frac{19}{2}$$

คูณ -\frac{9}{2} ด้วย \frac{15}{-18+m}

$$x=-\frac{135}{2\left(m-18\right)}+\frac{19}{2}$$

เพิ่ม \frac{19}{2} ไปยัง -\frac{135}{2\left(-18+m\right)}

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)},y=\frac{15}{m-18}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2m-9\times 4}&-\frac{9}{2m-9\times 4}\\-\frac{4}{2m-9\times 4}&\frac{2}{2m-9\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2\left(m-18\right)}&-\frac{9}{2\left(m-18\right)}\\-\frac{2}{m-18}&\frac{1}{m-18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2\left(m-18\right)}\times 19+\left(-\frac{9}{2\left(m-18\right)}\right)\times 53\\\left(-\frac{2}{m-18}\right)\times 19+\frac{1}{m-18}\times 53\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)}\\\frac{15}{m-18}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)},y=\frac{15}{m-18}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

เพื่อทำให้ 2x และ 4x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 4 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$4\times 2x+4\times 9y=4\times 19,2\times 4x+2my=2\times 53$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$8x+36y=76,8x+2my=106$$

ลบ 8x+2my=106 จาก 8x+36y=76 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$8x-8x+36y+\left(-2m\right)y=76-106$$

เพิ่ม 8x ไปยัง -8x ตัดพจน์ 8x และ -8x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$36y+\left(-2m\right)y=76-106$$

เพิ่ม 36y ไปยัง -2my

$$\left(36-2m\right)y=76-106$$

เพิ่ม 76 ไปยัง -106

$$\left(36-2m\right)y=-30$$

หารทั้งสองข้างด้วย 36-2m

$$y=-\frac{15}{18-m}$$

ทดแทน -\frac{15}{18-m} สำหรับ y ใน 4x+my=53 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$4x+m\left(-\frac{15}{18-m}\right)=53$$

คูณ m ด้วย -\frac{15}{18-m}

$$4x-\frac{15m}{18-m}=53$$

เพิ่ม \frac{15m}{18-m} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=\frac{2\left(477-19m\right)}{18-m}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=\frac{477-19m}{2\left(18-m\right)}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{477-19m}{2\left(18-m\right)},y=-\frac{15}{18-m}$$