แก้โจทย์ {l}{2x+8y=18}{-3x-4y=14}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 8 y = 18 } \\ { - 3 x - 4 y = 14 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = -\frac{23}{2} = -11\frac{1}{2} = -11.5$$

$$y = \frac{41}{8} = 5\frac{1}{8} = 5.125$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x+8y=18,-3x-4y=14$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x+8y=18$$

ลบ 8y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-8y+18$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(-8y+18\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -8y+18

$$x=-4y+9$$

ทดแทน -4y+9 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -3x-4y=14

$$-3\left(-4y+9\right)-4y=14$$

คูณ -3 ด้วย -4y+9

$$12y-27-4y=14$$

เพิ่ม 12y ไปยัง -4y

$$8y-27=14$$

เพิ่ม 27 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$8y=41$$

หารทั้งสองข้างด้วย 8

$$y=\frac{41}{8}$$

ทดแทน \frac{41}{8} สำหรับ y ใน x=-4y+9 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-4\times \frac{41}{8}+9$$

คูณ -4 ด้วย \frac{41}{8}

$$x=-\frac{41}{2}+9$$

เพิ่ม 9 ไปยัง -\frac{41}{2}

$$x=-\frac{23}{2}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{23}{2},y=\frac{41}{8}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x+8y=18,-3x-4y=14$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&8\\-3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\14\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&8\\-3&-4\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&8\\-3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\14\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\14\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\14\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-8\left(-3\right)}&-\frac{8}{2\left(-4\right)-8\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2\left(-4\right)-8\left(-3\right)}&\frac{2}{2\left(-4\right)-8\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\14\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}\\\frac{3}{16}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\14\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 18-\frac{1}{2}\times 14\\\frac{3}{16}\times 18+\frac{1}{8}\times 14\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{23}{2}\\\frac{41}{8}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{23}{2},y=\frac{41}{8}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x+8y=18,-3x-4y=14$$

เพื่อทำให้ 2x และ -3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$-3\times 2x-3\times 8y=-3\times 18,2\left(-3\right)x+2\left(-4\right)y=2\times 14$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-6x-24y=-54,-6x-8y=28$$

ลบ -6x-8y=28 จาก -6x-24y=-54 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-6x+6x-24y+8y=-54-28$$

เพิ่ม -6x ไปยัง 6x ตัดพจน์ -6x และ 6x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-24y+8y=-54-28$$

เพิ่ม -24y ไปยัง 8y

$$-16y=-54-28$$

เพิ่ม -54 ไปยัง -28

$$-16y=-82$$

หารทั้งสองข้างด้วย -16

$$y=\frac{41}{8}$$

ทดแทน \frac{41}{8} สำหรับ y ใน -3x-4y=14 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-3x-4\times \frac{41}{8}=14$$

คูณ -4 ด้วย \frac{41}{8}

$$-3x-\frac{41}{2}=14$$

เพิ่ม \frac{41}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-3x=\frac{69}{2}$$

หารทั้งสองข้างด้วย -3

$$x=-\frac{23}{2}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{23}{2},y=\frac{41}{8}$$