แก้โจทย์ {l}{2x+5y=259}{199x-2y=1127}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 259 } \\ { 199 x - 2 y = 1127 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{2051}{333} = 6\frac{53}{333} \approx 6.159159159$$

$$y = \frac{16429}{333} = 49\frac{112}{333} \approx 49.336336336$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x+5y=259$$

ลบ 5y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-5y+259$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+259\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -5y+259

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}$$

ทดแทน \frac{-5y+259}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 199x-2y=1127

$$199\left(-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}\right)-2y=1127$$

คูณ 199 ด้วย \frac{-5y+259}{2}

$$-\frac{995}{2}y+\frac{51541}{2}-2y=1127$$

เพิ่ม -\frac{995y}{2} ไปยัง -2y

$$-\frac{999}{2}y+\frac{51541}{2}=1127$$

ลบ \frac{51541}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{999}{2}y=-\frac{49287}{2}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{999}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{16429}{333}$$

ทดแทน \frac{16429}{333} สำหรับ y ใน x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{16429}{333}+\frac{259}{2}$$

คูณ -\frac{5}{2} ครั้ง \frac{16429}{333} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{82145}{666}+\frac{259}{2}$$

เพิ่ม \frac{259}{2} ไปยัง -\frac{82145}{666} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{2051}{333}$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

สำหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถถูกเขียนขึ้นเป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\times 199}\\-\frac{199}{2\left(-2\right)-5\times 199}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}&\frac{5}{999}\\\frac{199}{999}&-\frac{2}{999}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}\times 259+\frac{5}{999}\times 1127\\\frac{199}{999}\times 259-\frac{2}{999}\times 1127\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2051}{333}\\\frac{16429}{333}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

เพื่อทำให้ 2x และ 199x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 199 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$199\times 2x+199\times 5y=199\times 259,2\times 199x+2\left(-2\right)y=2\times 1127$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$398x+995y=51541,398x-4y=2254$$

ลบ 398x-4y=2254 จาก 398x+995y=51541 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$398x-398x+995y+4y=51541-2254$$

เพิ่ม 398x ไปยัง -398x ตัดพจน์ 398x และ -398x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$995y+4y=51541-2254$$

เพิ่ม 995y ไปยัง 4y

$$999y=51541-2254$$

เพิ่ม 51541 ไปยัง -2254

$$999y=49287$$

หารทั้งสองข้างด้วย 999

$$y=\frac{16429}{333}$$

ทดแทน \frac{16429}{333} สำหรับ y ใน 199x-2y=1127 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$199x-2\times \frac{16429}{333}=1127$$

คูณ -2 ด้วย \frac{16429}{333}

$$199x-\frac{32858}{333}=1127$$

เพิ่ม \frac{32858}{333} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$199x=\frac{408149}{333}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 199

$$x=\frac{2051}{333}$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$