แก้โจทย์ {l}{2x+5y=21}{x+3y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 21 } \\ { x + 3 y = 8 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=23$$

$$y=-5$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x+5y=21,x+3y=8$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x+5y=21$$

ลบ 5y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-5y+21$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+21\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -5y+21

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{21}{2}$$

ทดแทน \frac{-5y+21}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง x+3y=8

$$-\frac{5}{2}y+\frac{21}{2}+3y=8$$

เพิ่ม -\frac{5y}{2} ไปยัง 3y

$$\frac{1}{2}y+\frac{21}{2}=8$$

ลบ \frac{21}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{1}{2}y=-\frac{5}{2}$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 2

$$y=-5$$

ทดแทน -5 สำหรับ y ใน x=-\frac{5}{2}y+\frac{21}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{5}{2}\left(-5\right)+\frac{21}{2}$$

คูณ -\frac{5}{2} ด้วย -5

$$x=\frac{25+21}{2}$$

เพิ่ม \frac{21}{2} ไปยัง \frac{25}{2} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=23$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=23,y=-5$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x+5y=21,x+3y=8$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&5\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\8\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&5\\1&3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\8\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\8\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\8\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-5}&-\frac{5}{2\times 3-5}\\-\frac{1}{2\times 3-5}&\frac{2}{2\times 3-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\8\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-5\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\8\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 21-5\times 8\\-21+2\times 8\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}23\\-5\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=23,y=-5$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x+5y=21,x+3y=8$$

เพื่อทำให้ 2x และ x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$2x+5y=21,2x+2\times 3y=2\times 8$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$2x+5y=21,2x+6y=16$$

ลบ 2x+6y=16 จาก 2x+5y=21 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-2x+5y-6y=21-16$$

เพิ่ม 2x ไปยัง -2x ตัดพจน์ 2x และ -2x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$5y-6y=21-16$$

เพิ่ม 5y ไปยัง -6y

$$-y=21-16$$

เพิ่ม 21 ไปยัง -16

$$-y=5$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$y=-5$$

ทดแทน -5 สำหรับ y ใน x+3y=8 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x+3\left(-5\right)=8$$

คูณ 3 ด้วย -5

$$x-15=8$$

เพิ่ม 15 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=23$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=23,y=-5$$