แก้โจทย์ {l}{2x+5y=17}{6y=6-5x}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 17 } \\ { 6 y = 6 - 5 x } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = -\frac{72}{13} = -5\frac{7}{13} \approx -5.538461538$$

$$y = \frac{73}{13} = 5\frac{8}{13} \approx 5.615384615$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 5x ไปทั้งสองด้าน

$$6y+5x=6$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x+5y=17,5x+6y=6$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x+5y=17$$

ลบ 5y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-5y+17$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+17\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -5y+17

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{17}{2}$$

ทดแทน \frac{-5y+17}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 5x+6y=6

$$5\left(-\frac{5}{2}y+\frac{17}{2}\right)+6y=6$$

คูณ 5 ด้วย \frac{-5y+17}{2}

$$-\frac{25}{2}y+\frac{85}{2}+6y=6$$

เพิ่ม -\frac{25y}{2} ไปยัง 6y

$$-\frac{13}{2}y+\frac{85}{2}=6$$

ลบ \frac{85}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{13}{2}y=-\frac{73}{2}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{13}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{73}{13}$$

ทดแทน \frac{73}{13} สำหรับ y ใน x=-\frac{5}{2}y+\frac{17}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{73}{13}+\frac{17}{2}$$

คูณ -\frac{5}{2} ครั้ง \frac{73}{13} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{365}{26}+\frac{17}{2}$$

เพิ่ม \frac{17}{2} ไปยัง -\frac{365}{26} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{72}{13}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{72}{13},y=\frac{73}{13}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 5x ไปทั้งสองด้าน

$$6y+5x=6$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x+5y=17,5x+6y=6$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{2\times 6-5\times 5}&-\frac{5}{2\times 6-5\times 5}\\-\frac{5}{2\times 6-5\times 5}&\frac{2}{2\times 6-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{13}&\frac{5}{13}\\\frac{5}{13}&-\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{13}\times 17+\frac{5}{13}\times 6\\\frac{5}{13}\times 17-\frac{2}{13}\times 6\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{72}{13}\\\frac{73}{13}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{72}{13},y=\frac{73}{13}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 5x ไปทั้งสองด้าน

$$6y+5x=6$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x+5y=17,5x+6y=6$$

เพื่อทำให้ 2x และ 5x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 5 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$5\times 2x+5\times 5y=5\times 17,2\times 5x+2\times 6y=2\times 6$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$10x+25y=85,10x+12y=12$$

ลบ 10x+12y=12 จาก 10x+25y=85 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$10x-10x+25y-12y=85-12$$

เพิ่ม 10x ไปยัง -10x ตัดพจน์ 10x และ -10x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$25y-12y=85-12$$

เพิ่ม 25y ไปยัง -12y

$$13y=85-12$$

เพิ่ม 85 ไปยัง -12

$$13y=73$$

หารทั้งสองข้างด้วย 13

$$y=\frac{73}{13}$$

ทดแทน \frac{73}{13} สำหรับ y ใน 5x+6y=6 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$5x+6\times \frac{73}{13}=6$$

คูณ 6 ด้วย \frac{73}{13}

$$5x+\frac{438}{13}=6$$

ลบ \frac{438}{13} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=-\frac{360}{13}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=-\frac{72}{13}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{72}{13},y=\frac{73}{13}$$