แก้โจทย์ {l}{2x+5y=16}{3x-7y=24}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 16 } \\ { 3 x - 7 y = 24 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=8$$

$$y=0$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x+5y=16,3x-7y=24$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x+5y=16$$

ลบ 5y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-5y+16$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+16\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -5y+16

$$x=-\frac{5}{2}y+8$$

ทดแทน -\frac{5y}{2}+8 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 3x-7y=24

$$3\left(-\frac{5}{2}y+8\right)-7y=24$$

คูณ 3 ด้วย -\frac{5y}{2}+8

$$-\frac{15}{2}y+24-7y=24$$

เพิ่ม -\frac{15y}{2} ไปยัง -7y

$$-\frac{29}{2}y+24=24$$

ลบ 24 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{29}{2}y=0$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{29}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=0$$

ทดแทน 0 สำหรับ y ใน x=-\frac{5}{2}y+8 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=8$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=8,y=0$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x+5y=16,3x-7y=24$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&5\\3&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\24\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&5\\3&-7\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\3&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\24\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\24\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\24\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{2\left(-7\right)-5\times 3}&-\frac{5}{2\left(-7\right)-5\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-7\right)-5\times 3}&\frac{2}{2\left(-7\right)-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\24\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{29}&\frac{5}{29}\\\frac{3}{29}&-\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\24\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{29}\times 16+\frac{5}{29}\times 24\\\frac{3}{29}\times 16-\frac{2}{29}\times 24\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=8,y=0$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x+5y=16,3x-7y=24$$

เพื่อทำให้ 2x และ 3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$3\times 2x+3\times 5y=3\times 16,2\times 3x+2\left(-7\right)y=2\times 24$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$6x+15y=48,6x-14y=48$$

ลบ 6x-14y=48 จาก 6x+15y=48 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6x-6x+15y+14y=48-48$$

เพิ่ม 6x ไปยัง -6x ตัดพจน์ 6x และ -6x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$15y+14y=48-48$$

เพิ่ม 15y ไปยัง 14y

$$29y=48-48$$

เพิ่ม 48 ไปยัง -48

$$29y=0$$

หารทั้งสองข้างด้วย 29

$$y=0$$

ทดแทน 0 สำหรับ y ใน 3x-7y=24 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$3x=24$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=8$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=8,y=0$$