แก้โจทย์ {l}{2x+5y=-10}{y=-7/5x+3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = - 10 } \\ { y = - \frac { 7 } { 5 } x + 3 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=5$$

$$y=-4$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม \frac{7}{5}x ไปทั้งสองด้าน

$$y+\frac{7}{5}x=3$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x+5y=-10,\frac{7}{5}x+y=3$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x+5y=-10$$

ลบ 5y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-5y-10$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y-10\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -5y-10

$$x=-\frac{5}{2}y-5$$

ทดแทน -\frac{5y}{2}-5 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง \frac{7}{5}x+y=3

$$\frac{7}{5}\left(-\frac{5}{2}y-5\right)+y=3$$

คูณ \frac{7}{5} ด้วย -\frac{5y}{2}-5

$$-\frac{7}{2}y-7+y=3$$

เพิ่ม -\frac{7y}{2} ไปยัง y

$$-\frac{5}{2}y-7=3$$

เพิ่ม 7 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{5}{2}y=10$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{5}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-4$$

ทดแทน -4 สำหรับ y ใน x=-\frac{5}{2}y-5 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{5}{2}\left(-4\right)-5$$

คูณ -\frac{5}{2} ด้วย -4

$$x=10-5$$

เพิ่ม -5 ไปยัง 10

$$x=5$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=5,y=-4$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม \frac{7}{5}x ไปทั้งสองด้าน

$$y+\frac{7}{5}x=3$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x+5y=-10,\frac{7}{5}x+y=3$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

สำหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถถูกเขียนขึ้นเป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-5\times \frac{7}{5}}&-\frac{5}{2-5\times \frac{7}{5}}\\-\frac{\frac{7}{5}}{2-5\times \frac{7}{5}}&\frac{2}{2-5\times \frac{7}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&1\\\frac{7}{25}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\left(-10\right)+3\\\frac{7}{25}\left(-10\right)-\frac{2}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=5,y=-4$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม \frac{7}{5}x ไปทั้งสองด้าน

$$y+\frac{7}{5}x=3$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x+5y=-10,\frac{7}{5}x+y=3$$

เพื่อทำให้ 2x และ \frac{7x}{5} เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย \frac{7}{5} และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$\frac{7}{5}\times 2x+\frac{7}{5}\times 5y=\frac{7}{5}\left(-10\right),2\times \frac{7}{5}x+2y=2\times 3$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$\frac{14}{5}x+7y=-14,\frac{14}{5}x+2y=6$$

ลบ \frac{14}{5}x+2y=6 จาก \frac{14}{5}x+7y=-14 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\frac{14}{5}x-\frac{14}{5}x+7y-2y=-14-6$$

เพิ่ม \frac{14x}{5} ไปยัง -\frac{14x}{5} ตัดพจน์ \frac{14x}{5} และ -\frac{14x}{5} ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$7y-2y=-14-6$$

เพิ่ม 7y ไปยัง -2y

$$5y=-14-6$$

เพิ่ม -14 ไปยัง -6

$$5y=-20$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$y=-4$$

ทดแทน -4 สำหรับ y ใน \frac{7}{5}x+y=3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$\frac{7}{5}x-4=3$$

เพิ่ม 4 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{7}{5}x=7$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{7}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=5$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=5,y=-4$$