แก้โจทย์ {l}{2x+4y=2}{6x+4y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 2 } \\ { 6 x + 4 y = 4 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=\frac{1}{4}=0.25$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x+4y=2,6x+4y=4$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x+4y=2$$

ลบ 4y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-4y+2$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+2\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -4y+2

$$x=-2y+1$$

ทดแทน -2y+1 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 6x+4y=4

$$6\left(-2y+1\right)+4y=4$$

คูณ 6 ด้วย -2y+1

$$-12y+6+4y=4$$

เพิ่ม -12y ไปยัง 4y

$$-8y+6=4$$

ลบ 6 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-8y=-2$$

หารทั้งสองข้างด้วย -8

$$y=\frac{1}{4}$$

ทดแทน \frac{1}{4} สำหรับ y ใน x=-2y+1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-2\times \frac{1}{4}+1$$

คูณ -2 ด้วย \frac{1}{4}

$$x=-\frac{1}{2}+1$$

เพิ่ม 1 ไปยัง -\frac{1}{2}

$$x=\frac{1}{2}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{1}{4}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x+4y=2,6x+4y=4$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&4\\6&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&4\\6&4\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\6&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-4\times 6}&-\frac{4}{2\times 4-4\times 6}\\-\frac{6}{2\times 4-4\times 6}&\frac{2}{2\times 4-4\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 2+\frac{1}{4}\times 4\\\frac{3}{8}\times 2-\frac{1}{8}\times 4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{1}{4}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x+4y=2,6x+4y=4$$

ลบ 6x+4y=4 จาก 2x+4y=2 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-6x+4y-4y=2-4$$

เพิ่ม 4y ไปยัง -4y ตัดพจน์ 4y และ -4y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$2x-6x=2-4$$

เพิ่ม 2x ไปยัง -6x

$$-4x=2-4$$

เพิ่ม 2 ไปยัง -4

$$-4x=-2$$

หารทั้งสองข้างด้วย -4

$$x=\frac{1}{2}$$

ทดแทน \frac{1}{2} สำหรับ x ใน 6x+4y=4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$6\times \frac{1}{2}+4y=4$$

คูณ 6 ด้วย \frac{1}{2}

$$3+4y=4$$

ลบ 3 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4y=1$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$y=\frac{1}{4}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{1}{4}$$