แก้โจทย์ {l}{2x+3y=57}{3x-5y=81/2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 57 } \\ { 3 x - 5 y = 8 \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{621}{38} = 16\frac{13}{38} \approx 16.342105263$$

$$y = \frac{154}{19} = 8\frac{2}{19} \approx 8.105263158$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x+3y=57,3x-5y=\frac{17}{2}$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x+3y=57$$

ลบ 3y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-3y+57$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+57\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -3y+57

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{57}{2}$$

ทดแทน \frac{-3y+57}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 3x-5y=\frac{17}{2}

$$3\left(-\frac{3}{2}y+\frac{57}{2}\right)-5y=\frac{17}{2}$$

คูณ 3 ด้วย \frac{-3y+57}{2}

$$-\frac{9}{2}y+\frac{171}{2}-5y=\frac{17}{2}$$

เพิ่ม -\frac{9y}{2} ไปยัง -5y

$$-\frac{19}{2}y+\frac{171}{2}=\frac{17}{2}$$

ลบ \frac{171}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{19}{2}y=-77$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{19}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{154}{19}$$

ทดแทน \frac{154}{19} สำหรับ y ใน x=-\frac{3}{2}y+\frac{57}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{154}{19}+\frac{57}{2}$$

คูณ -\frac{3}{2} ครั้ง \frac{154}{19} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{231}{19}+\frac{57}{2}$$

เพิ่ม \frac{57}{2} ไปยัง -\frac{231}{19} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{621}{38}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{621}{38},y=\frac{154}{19}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x+3y=57,3x-5y=\frac{17}{2}$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}57\\\frac{17}{2}\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&3\\3&-5\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}57\\\frac{17}{2}\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}57\\\frac{17}{2}\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}57\\\frac{17}{2}\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-3\times 3}&-\frac{3}{2\left(-5\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-5\right)-3\times 3}&\frac{2}{2\left(-5\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}57\\\frac{17}{2}\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\\frac{3}{19}&-\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}57\\\frac{17}{2}\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\times 57+\frac{3}{19}\times \frac{17}{2}\\\frac{3}{19}\times 57-\frac{2}{19}\times \frac{17}{2}\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{621}{38}\\\frac{154}{19}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{621}{38},y=\frac{154}{19}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x+3y=57,3x-5y=\frac{17}{2}$$

เพื่อทำให้ 2x และ 3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$3\times 2x+3\times 3y=3\times 57,2\times 3x+2\left(-5\right)y=2\times \frac{17}{2}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$6x+9y=171,6x-10y=17$$

ลบ 6x-10y=17 จาก 6x+9y=171 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6x-6x+9y+10y=171-17$$

เพิ่ม 6x ไปยัง -6x ตัดพจน์ 6x และ -6x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$9y+10y=171-17$$

เพิ่ม 9y ไปยัง 10y

$$19y=171-17$$

เพิ่ม 171 ไปยัง -17

$$19y=154$$

หารทั้งสองข้างด้วย 19

$$y=\frac{154}{19}$$

ทดแทน \frac{154}{19} สำหรับ y ใน 3x-5y=\frac{17}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$3x-5\times \frac{154}{19}=\frac{17}{2}$$

คูณ -5 ด้วย \frac{154}{19}

$$3x-\frac{770}{19}=\frac{17}{2}$$

เพิ่ม \frac{770}{19} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=\frac{1863}{38}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{621}{38}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{621}{38},y=\frac{154}{19}$$