แก้โจทย์ {l}{2x+3y=5}{7x=4y-3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 5 } \\ { 7 x = 4 y - 3 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=\frac{11}{29}\approx 0.379310345$$

$$y = \frac{41}{29} = 1\frac{12}{29} \approx 1.413793103$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 4y จากทั้งสองด้าน

$$7x-4y=-3$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x+3y=5,7x-4y=-3$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x+3y=5$$

ลบ 3y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-3y+5$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+5\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -3y+5

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

ทดแทน \frac{-3y+5}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 7x-4y=-3

$$7\left(-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)-4y=-3$$

คูณ 7 ด้วย \frac{-3y+5}{2}

$$-\frac{21}{2}y+\frac{35}{2}-4y=-3$$

เพิ่ม -\frac{21y}{2} ไปยัง -4y

$$-\frac{29}{2}y+\frac{35}{2}=-3$$

ลบ \frac{35}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{29}{2}y=-\frac{41}{2}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{29}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{41}{29}$$

ทดแทน \frac{41}{29} สำหรับ y ใน x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{41}{29}+\frac{5}{2}$$

คูณ -\frac{3}{2} ครั้ง \frac{41}{29} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{123}{58}+\frac{5}{2}$$

เพิ่ม \frac{5}{2} ไปยัง -\frac{123}{58} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{11}{29}$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=\frac{11}{29},y=\frac{41}{29}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 4y จากทั้งสองด้าน

$$7x-4y=-3$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x+3y=5,7x-4y=-3$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

สำหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถถูกเขียนขึ้นเป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 7}&-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 7}\\-\frac{7}{2\left(-4\right)-3\times 7}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{29}&\frac{3}{29}\\\frac{7}{29}&-\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{29}\times 5+\frac{3}{29}\left(-3\right)\\\frac{7}{29}\times 5-\frac{2}{29}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{29}\\\frac{41}{29}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{11}{29},y=\frac{41}{29}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 4y จากทั้งสองด้าน

$$7x-4y=-3$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x+3y=5,7x-4y=-3$$

เพื่อทำให้ 2x และ 7x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 7 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$7\times 2x+7\times 3y=7\times 5,2\times 7x+2\left(-4\right)y=2\left(-3\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$14x+21y=35,14x-8y=-6$$

ลบ 14x-8y=-6 จาก 14x+21y=35 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$14x-14x+21y+8y=35+6$$

เพิ่ม 14x ไปยัง -14x ตัดพจน์ 14x และ -14x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$21y+8y=35+6$$

เพิ่ม 21y ไปยัง 8y

$$29y=35+6$$

เพิ่ม 35 ไปยัง 6

$$29y=41$$

หารทั้งสองข้างด้วย 29

$$y=\frac{41}{29}$$

ทดแทน \frac{41}{29} สำหรับ y ใน 7x-4y=-3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$7x-4\times \frac{41}{29}=-3$$

คูณ -4 ด้วย \frac{41}{29}

$$7x-\frac{164}{29}=-3$$

เพิ่ม \frac{164}{29} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$7x=\frac{77}{29}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$x=\frac{11}{29}$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=\frac{11}{29},y=\frac{41}{29}$$