แก้โจทย์ {l}{2x+3y=5}{3x+2y=76}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 76 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{218}{5} = 43\frac{3}{5} = 43.6$$

$$y = -\frac{137}{5} = -27\frac{2}{5} = -27.4$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x+3y=5,3x+2y=76$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x+3y=5$$

ลบ 3y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-3y+5$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+5\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -3y+5

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

ทดแทน \frac{-3y+5}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 3x+2y=76

$$3\left(-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)+2y=76$$

คูณ 3 ด้วย \frac{-3y+5}{2}

$$-\frac{9}{2}y+\frac{15}{2}+2y=76$$

เพิ่ม -\frac{9y}{2} ไปยัง 2y

$$-\frac{5}{2}y+\frac{15}{2}=76$$

ลบ \frac{15}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{5}{2}y=\frac{137}{2}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{5}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-\frac{137}{5}$$

ทดแทน -\frac{137}{5} สำหรับ y ใน x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{3}{2}\left(-\frac{137}{5}\right)+\frac{5}{2}$$

คูณ -\frac{3}{2} ครั้ง -\frac{137}{5} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{411}{10}+\frac{5}{2}$$

เพิ่ม \frac{5}{2} ไปยัง \frac{411}{10} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{218}{5}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{218}{5},y=-\frac{137}{5}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x+3y=5,3x+2y=76$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\76\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\76\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\76\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\76\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{2\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{2\times 2-3\times 3}&\frac{2}{2\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\76\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\76\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 5+\frac{3}{5}\times 76\\\frac{3}{5}\times 5-\frac{2}{5}\times 76\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{218}{5}\\-\frac{137}{5}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{218}{5},y=-\frac{137}{5}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x+3y=5,3x+2y=76$$

เพื่อทำให้ 2x และ 3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$3\times 2x+3\times 3y=3\times 5,2\times 3x+2\times 2y=2\times 76$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$6x+9y=15,6x+4y=152$$

ลบ 6x+4y=152 จาก 6x+9y=15 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6x-6x+9y-4y=15-152$$

เพิ่ม 6x ไปยัง -6x ตัดพจน์ 6x และ -6x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$9y-4y=15-152$$

เพิ่ม 9y ไปยัง -4y

$$5y=15-152$$

เพิ่ม 15 ไปยัง -152

$$5y=-137$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$y=-\frac{137}{5}$$

ทดแทน -\frac{137}{5} สำหรับ y ใน 3x+2y=76 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$3x+2\left(-\frac{137}{5}\right)=76$$

คูณ 2 ด้วย -\frac{137}{5}

$$3x-\frac{274}{5}=76$$

เพิ่ม \frac{274}{5} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=\frac{654}{5}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{218}{5}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{218}{5},y=-\frac{137}{5}$$