แก้โจทย์ {l}{2x+3y=15}{5x+4y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 15 } \\ { 5 x + 4 y = 13 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-3$$

$$y=7$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x+3y=15,5x+4y=13$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x+3y=15$$

ลบ 3y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-3y+15$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+15\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -3y+15

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}$$

ทดแทน \frac{-3y+15}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 5x+4y=13

$$5\left(-\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}\right)+4y=13$$

คูณ 5 ด้วย \frac{-3y+15}{2}

$$-\frac{15}{2}y+\frac{75}{2}+4y=13$$

เพิ่ม -\frac{15y}{2} ไปยัง 4y

$$-\frac{7}{2}y+\frac{75}{2}=13$$

ลบ \frac{75}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{7}{2}y=-\frac{49}{2}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{7}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=7$$

ทดแทน 7 สำหรับ y ใน x=-\frac{3}{2}y+\frac{15}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{3}{2}\times 7+\frac{15}{2}$$

คูณ -\frac{3}{2} ด้วย 7

$$x=\frac{-21+15}{2}$$

เพิ่ม \frac{15}{2} ไปยัง -\frac{21}{2} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-3,y=7$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x+3y=15,5x+4y=13$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\13\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\13\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\13\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\13\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-3\times 5}&-\frac{3}{2\times 4-3\times 5}\\-\frac{5}{2\times 4-3\times 5}&\frac{2}{2\times 4-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\13\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7}&\frac{3}{7}\\\frac{5}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\13\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7}\times 15+\frac{3}{7}\times 13\\\frac{5}{7}\times 15-\frac{2}{7}\times 13\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-3,y=7$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x+3y=15,5x+4y=13$$

เพื่อทำให้ 2x และ 5x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 5 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$5\times 2x+5\times 3y=5\times 15,2\times 5x+2\times 4y=2\times 13$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$10x+15y=75,10x+8y=26$$

ลบ 10x+8y=26 จาก 10x+15y=75 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$10x-10x+15y-8y=75-26$$

เพิ่ม 10x ไปยัง -10x ตัดพจน์ 10x และ -10x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$15y-8y=75-26$$

เพิ่ม 15y ไปยัง -8y

$$7y=75-26$$

เพิ่ม 75 ไปยัง -26

$$7y=49$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$y=7$$

ทดแทน 7 สำหรับ y ใน 5x+4y=13 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$5x+4\times 7=13$$

คูณ 4 ด้วย 7

$$5x+28=13$$

ลบ 28 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=-15$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=-3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-3,y=7$$