แก้โจทย์ {l}{2x+3y=1}{3x+y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 1 } \\ { 3 x + y = 7 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{20}{7} = 2\frac{6}{7} \approx 2.857142857$$

$$y = -\frac{11}{7} = -1\frac{4}{7} \approx -1.571428571$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x+3y=1,3x+y=7$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x+3y=1$$

ลบ 3y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-3y+1$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+1\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -3y+1

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}$$

ทดแทน \frac{-3y+1}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 3x+y=7

$$3\left(-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}\right)+y=7$$

คูณ 3 ด้วย \frac{-3y+1}{2}

$$-\frac{9}{2}y+\frac{3}{2}+y=7$$

เพิ่ม -\frac{9y}{2} ไปยัง y

$$-\frac{7}{2}y+\frac{3}{2}=7$$

ลบ \frac{3}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{7}{2}y=\frac{11}{2}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{7}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-\frac{11}{7}$$

ทดแทน -\frac{11}{7} สำหรับ y ใน x=-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{3}{2}\left(-\frac{11}{7}\right)+\frac{1}{2}$$

คูณ -\frac{3}{2} ครั้ง -\frac{11}{7} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{33}{14}+\frac{1}{2}$$

เพิ่ม \frac{1}{2} ไปยัง \frac{33}{14} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{20}{7}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{20}{7},y=-\frac{11}{7}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x+3y=1,3x+y=7$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&3\\3&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\times 3}&-\frac{3}{2-3\times 3}\\-\frac{3}{2-3\times 3}&\frac{2}{2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{3}{7}\\\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}+\frac{3}{7}\times 7\\\frac{3}{7}-\frac{2}{7}\times 7\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{7}\\-\frac{11}{7}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{20}{7},y=-\frac{11}{7}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x+3y=1,3x+y=7$$

เพื่อทำให้ 2x และ 3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$3\times 2x+3\times 3y=3,2\times 3x+2y=2\times 7$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$6x+9y=3,6x+2y=14$$

ลบ 6x+2y=14 จาก 6x+9y=3 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6x-6x+9y-2y=3-14$$

เพิ่ม 6x ไปยัง -6x ตัดพจน์ 6x และ -6x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$9y-2y=3-14$$

เพิ่ม 9y ไปยัง -2y

$$7y=3-14$$

เพิ่ม 3 ไปยัง -14

$$7y=-11$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$y=-\frac{11}{7}$$

ทดแทน -\frac{11}{7} สำหรับ y ใน 3x+y=7 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$3x-\frac{11}{7}=7$$

เพิ่ม \frac{11}{7} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=\frac{60}{7}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{20}{7}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{20}{7},y=-\frac{11}{7}$$