แก้โจทย์ {l}{2x+3y+5=0}{3x-2y-12=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y + 5 = 0 } \\ { 3 x - 2 y - 12 = 0 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=2$$

$$y=-3$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x+3y+5=0,3x-2y-12=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x+3y+5=0$$

ลบ 5 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x+3y=-5$$

ลบ 3y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-3y-5$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y-5\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -3y-5

$$x=-\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}$$

ทดแทน \frac{-3y-5}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 3x-2y-12=0

$$3\left(-\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}\right)-2y-12=0$$

คูณ 3 ด้วย \frac{-3y-5}{2}

$$-\frac{9}{2}y-\frac{15}{2}-2y-12=0$$

เพิ่ม -\frac{9y}{2} ไปยัง -2y

$$-\frac{13}{2}y-\frac{15}{2}-12=0$$

เพิ่ม -\frac{15}{2} ไปยัง -12

$$-\frac{13}{2}y-\frac{39}{2}=0$$

เพิ่ม \frac{39}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{13}{2}y=\frac{39}{2}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{13}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-3$$

ทดแทน -3 สำหรับ y ใน x=-\frac{3}{2}y-\frac{5}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{3}{2}\left(-3\right)-\frac{5}{2}$$

คูณ -\frac{3}{2} ด้วย -3

$$x=\frac{9-5}{2}$$

เพิ่ม -\frac{5}{2} ไปยัง \frac{9}{2} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=2,y=-3$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x+3y+5=0,3x-2y-12=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\12\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\12\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\12\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\12\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times 3}&-\frac{3}{2\left(-2\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-3\times 3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\12\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\\\frac{3}{13}&-\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\12\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\left(-5\right)+\frac{3}{13}\times 12\\\frac{3}{13}\left(-5\right)-\frac{2}{13}\times 12\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=2,y=-3$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x+3y+5=0,3x-2y-12=0$$

เพื่อทำให้ 2x และ 3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$3\times 2x+3\times 3y+3\times 5=0,2\times 3x+2\left(-2\right)y+2\left(-12\right)=0$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$6x+9y+15=0,6x-4y-24=0$$

ลบ 6x-4y-24=0 จาก 6x+9y+15=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6x-6x+9y+4y+15+24=0$$

เพิ่ม 6x ไปยัง -6x ตัดพจน์ 6x และ -6x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$9y+4y+15+24=0$$

เพิ่ม 9y ไปยัง 4y

$$13y+15+24=0$$

เพิ่ม 15 ไปยัง 24

$$13y+39=0$$

ลบ 39 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$13y=-39$$

หารทั้งสองข้างด้วย 13

$$y=-3$$

ทดแทน -3 สำหรับ y ใน 3x-2y-12=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$3x-2\left(-3\right)-12=0$$

คูณ -2 ด้วย -3

$$3x+6-12=0$$

เพิ่ม 6 ไปยัง -12

$$3x-6=0$$

เพิ่ม 6 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=6$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=2,y=-3$$