แก้โจทย์ {l}{2x+2y=4}{3x-2y=12}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 2 y = 4 } \\ { 3 x - 2 y = 12 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{16}{5} = 3\frac{1}{5} = 3.2$$

$$y = -\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5} = -1.2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x+2y=4,3x-2y=12$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x+2y=4$$

ลบ 2y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-2y+4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(-2y+4\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -2y+4

$$x=-y+2$$

ทดแทน -y+2 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 3x-2y=12

$$3\left(-y+2\right)-2y=12$$

คูณ 3 ด้วย -y+2

$$-3y+6-2y=12$$

เพิ่ม -3y ไปยัง -2y

$$-5y+6=12$$

ลบ 6 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-5y=6$$

หารทั้งสองข้างด้วย -5

$$y=-\frac{6}{5}$$

ทดแทน -\frac{6}{5} สำหรับ y ใน x=-y+2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\left(-\frac{6}{5}\right)+2$$

คูณ -1 ด้วย -\frac{6}{5}

$$x=\frac{6}{5}+2$$

เพิ่ม 2 ไปยัง \frac{6}{5}

$$x=\frac{16}{5}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{16}{5},y=-\frac{6}{5}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x+2y=4,3x-2y=12$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&2\\3&-2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-2\times 3}&-\frac{2}{2\left(-2\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-2\times 3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 4+\frac{1}{5}\times 12\\\frac{3}{10}\times 4-\frac{1}{5}\times 12\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{5}\\-\frac{6}{5}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{16}{5},y=-\frac{6}{5}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x+2y=4,3x-2y=12$$

เพื่อทำให้ 2x และ 3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$3\times 2x+3\times 2y=3\times 4,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 12$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$6x+6y=12,6x-4y=24$$

ลบ 6x-4y=24 จาก 6x+6y=12 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6x-6x+6y+4y=12-24$$

เพิ่ม 6x ไปยัง -6x ตัดพจน์ 6x และ -6x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$6y+4y=12-24$$

เพิ่ม 6y ไปยัง 4y

$$10y=12-24$$

เพิ่ม 12 ไปยัง -24

$$10y=-12$$

หารทั้งสองข้างด้วย 10

$$y=-\frac{6}{5}$$

ทดแทน -\frac{6}{5} สำหรับ y ใน 3x-2y=12 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$3x-2\left(-\frac{6}{5}\right)=12$$

คูณ -2 ด้วย -\frac{6}{5}

$$3x+\frac{12}{5}=12$$

ลบ \frac{12}{5} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=\frac{48}{5}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{16}{5}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{16}{5},y=-\frac{6}{5}$$