แก้โจทย์ {l}{2x+2y=0}{3x-y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 2 y = 0 } \\ { 3 x - y = 2 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x+2y=0,3x-y=2$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x+2y=0$$

ลบ 2y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-2y$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(-2\right)y$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -2y

$$x=-y$$

ทดแทน -y สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 3x-y=2

$$3\left(-1\right)y-y=2$$

คูณ 3 ด้วย -y

$$-3y-y=2$$

เพิ่ม -3y ไปยัง -y

$$-4y=2$$

หารทั้งสองข้างด้วย -4

$$y=-\frac{1}{2}$$

ทดแทน -\frac{1}{2} สำหรับ y ใน x=-y เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\left(-\frac{1}{2}\right)$$

คูณ -1 ด้วย -\frac{1}{2}

$$x=\frac{1}{2}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{1}{2},y=-\frac{1}{2}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x+2y=0,3x-y=2$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&2\\3&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-2\times 3}&-\frac{2}{2\left(-1\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-1\right)-2\times 3}&\frac{2}{2\left(-1\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 2\\-\frac{1}{4}\times 2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{1}{2},y=-\frac{1}{2}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x+2y=0,3x-y=2$$

เพื่อทำให้ 2x และ 3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$3\times 2x+3\times 2y=0,2\times 3x+2\left(-1\right)y=2\times 2$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$6x+6y=0,6x-2y=4$$

ลบ 6x-2y=4 จาก 6x+6y=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6x-6x+6y+2y=-4$$

เพิ่ม 6x ไปยัง -6x ตัดพจน์ 6x และ -6x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$6y+2y=-4$$

เพิ่ม 6y ไปยัง 2y

$$8y=-4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 8

$$y=-\frac{1}{2}$$

ทดแทน -\frac{1}{2} สำหรับ y ใน 3x-y=2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$3x-\left(-\frac{1}{2}\right)=2$$

ลบ \frac{1}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=\frac{3}{2}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{2}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{1}{2},y=-\frac{1}{2}$$