แก้โจทย์ {l}{2n-3m=1}{m+n=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 n - 3 m = 1 } \\ { m + n = 3 } \end{array} \right.$$

หาค่า n, m

$$n=2$$

$$m=1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2n-3m=1,n+m=3$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ n โดยแยก n ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2n-3m=1$$

เพิ่ม 3m ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2n=3m+1$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$n=\frac{1}{2}\left(3m+1\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย 3m+1

$$n=\frac{3}{2}m+\frac{1}{2}$$

ทดแทน \frac{3m+1}{2} สำหรับ n ในอีกสมการหนึ่ง n+m=3

$$\frac{3}{2}m+\frac{1}{2}+m=3$$

เพิ่ม \frac{3m}{2} ไปยัง m

$$\frac{5}{2}m+\frac{1}{2}=3$$

ลบ \frac{1}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{5}{2}m=\frac{5}{2}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{5}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$m=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ m ใน n=\frac{3}{2}m+\frac{1}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า n โดยตรงได้

$$n=\frac{3+1}{2}$$

เพิ่ม \frac{1}{2} ไปยัง \frac{3}{2} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$n=2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$n=2,m=1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2n-3m=1,n+m=3$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}+\frac{3}{5}\times 3\\-\frac{1}{5}+\frac{2}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ n และ m

$$n=2,m=1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2n-3m=1,n+m=3$$

เพื่อทำให้ 2n และ n เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$2n-3m=1,2n+2m=2\times 3$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$2n-3m=1,2n+2m=6$$

ลบ 2n+2m=6 จาก 2n-3m=1 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2n-2n-3m-2m=1-6$$

เพิ่ม 2n ไปยัง -2n ตัดพจน์ 2n และ -2n ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-3m-2m=1-6$$

เพิ่ม -3m ไปยัง -2m

$$-5m=1-6$$

เพิ่ม 1 ไปยัง -6

$$-5m=-5$$

หารทั้งสองข้างด้วย -5

$$m=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ m ใน n+m=3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า n โดยตรงได้

$$n+1=3$$

ลบ 1 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$n=2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$n=2,m=1$$