แก้โจทย์ {l}{2m-3n=-1}{m+n=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 m - 3 n = - 1 } \\ { m + n = 3 } \end{array} \right.$$

หาค่า m, n

$$m = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1.6$$

$$n = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5} = 1.4$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2m-3n=-1,m+n=3$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ m โดยแยก m ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2m-3n=-1$$

เพิ่ม 3n ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2m=3n-1$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$m=\frac{1}{2}\left(3n-1\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย 3n-1

$$m=\frac{3}{2}n-\frac{1}{2}$$

ทดแทน \frac{3n-1}{2} สำหรับ m ในอีกสมการหนึ่ง m+n=3

$$\frac{3}{2}n-\frac{1}{2}+n=3$$

เพิ่ม \frac{3n}{2} ไปยัง n

$$\frac{5}{2}n-\frac{1}{2}=3$$

เพิ่ม \frac{1}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{5}{2}n=\frac{7}{2}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{5}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$n=\frac{7}{5}$$

ทดแทน \frac{7}{5} สำหรับ n ใน m=\frac{3}{2}n-\frac{1}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า m โดยตรงได้

$$m=\frac{3}{2}\times \frac{7}{5}-\frac{1}{2}$$

คูณ \frac{3}{2} ครั้ง \frac{7}{5} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$m=\frac{21}{10}-\frac{1}{2}$$

เพิ่ม -\frac{1}{2} ไปยัง \frac{21}{10} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$m=\frac{8}{5}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$m=\frac{8}{5},n=\frac{7}{5}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2m-3n=-1,m+n=3$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-1\right)+\frac{3}{5}\times 3\\-\frac{1}{5}\left(-1\right)+\frac{2}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}\\\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ m และ n

$$m=\frac{8}{5},n=\frac{7}{5}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2m-3n=-1,m+n=3$$

เพื่อทำให้ 2m และ m เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$2m-3n=-1,2m+2n=2\times 3$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$2m-3n=-1,2m+2n=6$$

ลบ 2m+2n=6 จาก 2m-3n=-1 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2m-2m-3n-2n=-1-6$$

เพิ่ม 2m ไปยัง -2m ตัดพจน์ 2m และ -2m ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-3n-2n=-1-6$$

เพิ่ม -3n ไปยัง -2n

$$-5n=-1-6$$

เพิ่ม -1 ไปยัง -6

$$-5n=-7$$

หารทั้งสองข้างด้วย -5

$$n=\frac{7}{5}$$

ทดแทน \frac{7}{5} สำหรับ n ใน m+n=3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า m โดยตรงได้

$$m+\frac{7}{5}=3$$

ลบ \frac{7}{5} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$m=\frac{8}{5}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$m=\frac{8}{5},n=\frac{7}{5}$$