แก้โจทย์ {l}{2m+3n=22}{m-2n=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 m + 3 n = 22 } \\ { m - 2 n = 6 } \end{array} \right.$$

หาค่า m, n

$$m = \frac{62}{7} = 8\frac{6}{7} \approx 8.857142857$$

$$n = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7} \approx 1.428571429$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2m+3n=22,m-2n=6$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ m โดยแยก m ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2m+3n=22$$

ลบ 3n จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2m=-3n+22$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$m=\frac{1}{2}\left(-3n+22\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -3n+22

$$m=-\frac{3}{2}n+11$$

ทดแทน -\frac{3n}{2}+11 สำหรับ m ในอีกสมการหนึ่ง m-2n=6

$$-\frac{3}{2}n+11-2n=6$$

เพิ่ม -\frac{3n}{2} ไปยัง -2n

$$-\frac{7}{2}n+11=6$$

ลบ 11 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{7}{2}n=-5$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{7}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$n=\frac{10}{7}$$

ทดแทน \frac{10}{7} สำหรับ n ใน m=-\frac{3}{2}n+11 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า m โดยตรงได้

$$m=-\frac{3}{2}\times \frac{10}{7}+11$$

คูณ -\frac{3}{2} ครั้ง \frac{10}{7} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$m=-\frac{15}{7}+11$$

เพิ่ม 11 ไปยัง -\frac{15}{7}

$$m=\frac{62}{7}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$m=\frac{62}{7},n=\frac{10}{7}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2m+3n=22,m-2n=6$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3}&-\frac{3}{2\left(-2\right)-3}\\-\frac{1}{2\left(-2\right)-3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 22+\frac{3}{7}\times 6\\\frac{1}{7}\times 22-\frac{2}{7}\times 6\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{62}{7}\\\frac{10}{7}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ m และ n

$$m=\frac{62}{7},n=\frac{10}{7}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2m+3n=22,m-2n=6$$

เพื่อทำให้ 2m และ m เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$2m+3n=22,2m+2\left(-2\right)n=2\times 6$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$2m+3n=22,2m-4n=12$$

ลบ 2m-4n=12 จาก 2m+3n=22 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2m-2m+3n+4n=22-12$$

เพิ่ม 2m ไปยัง -2m ตัดพจน์ 2m และ -2m ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$3n+4n=22-12$$

เพิ่ม 3n ไปยัง 4n

$$7n=22-12$$

เพิ่ม 22 ไปยัง -12

$$7n=10$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$n=\frac{10}{7}$$

ทดแทน \frac{10}{7} สำหรับ n ใน m-2n=6 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า m โดยตรงได้

$$m-2\times \frac{10}{7}=6$$

คูณ -2 ด้วย \frac{10}{7}

$$m-\frac{20}{7}=6$$

เพิ่ม \frac{20}{7} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$m=\frac{62}{7}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$m=\frac{62}{7},n=\frac{10}{7}$$