แก้โจทย์ {l}{2bx+ay=2ab}{bx-ay=4ab}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 b x + a y = 2 a b } \\ { b x - a y = 4 a b } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=2a\text{, }y=-2b\text{, }&\text{unconditionally}\\x=0\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&a=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=0\text{, }&b=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2bx+ay=2ab$$

ลบ ay จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2bx=\left(-a\right)y+2ab$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2b

$$x=\frac{1}{2b}\left(\left(-a\right)y+2ab\right)$$

คูณ \frac{1}{2b} ด้วย a\left(-y+2b\right)

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a$$

ทดแทน a-\frac{ay}{2b} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง bx+\left(-a\right)y=4ab

$$b\left(\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a\right)+\left(-a\right)y=4ab$$

คูณ b ด้วย a-\frac{ay}{2b}

$$\left(-\frac{a}{2}\right)y+ab+\left(-a\right)y=4ab$$

เพิ่ม -\frac{ay}{2} ไปยัง -ay

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y+ab=4ab$$

ลบ ba จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y=3ab$$

หารทั้งสองข้างด้วย -\frac{3a}{2}

$$y=-2b$$

ทดแทน -2b สำหรับ y ใน x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)\left(-2b\right)+a$$

คูณ -\frac{a}{2b} ด้วย -2b

$$x=a+a$$

เพิ่ม a ไปยัง a

$$x=2a$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=2a,y=-2b$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}&-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}\\-\frac{b}{2b\left(-a\right)-ab}&\frac{2b}{2b\left(-a\right)-ab}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}&\frac{1}{3b}\\\frac{1}{3a}&-\frac{2}{3a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}\times 2ab+\frac{1}{3b}\times 4ab\\\frac{1}{3a}\times 2ab+\left(-\frac{2}{3a}\right)\times 4ab\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2a\\-2b\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=2a,y=-2b$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

เพื่อทำให้ 2bx และ bx เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย b และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2b

$$b\times 2bx+bay=b\times 2ab,2bbx+2b\left(-a\right)y=2b\times 4ab$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$2b^{2}x+aby=2ab^{2},2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2}$$

ลบ 2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2} จาก 2b^{2}x+aby=2ab^{2} โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2b^{2}x+\left(-2b^{2}\right)x+aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

เพิ่ม 2b^{2}x ไปยัง -2b^{2}x ตัดพจน์ 2b^{2}x และ -2b^{2}x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

เพิ่ม bay ไปยัง 2bay

$$3aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

เพิ่ม 2ab^{2} ไปยัง -8ab^{2}

$$3aby=-6ab^{2}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3ba

$$y=-2b$$

ทดแทน -2b สำหรับ y ใน bx+\left(-a\right)y=4ab เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$bx+\left(-a\right)\left(-2b\right)=4ab$$

คูณ -a ด้วย -2b

$$bx+2ab=4ab$$

ลบ 2ba จากทั้งสองข้างของสมการ

$$bx=2ab$$

หารทั้งสองข้างด้วย b

$$x=2a$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=2a,y=-2b$$

หาค่า x, y

$$\left\{\begin{matrix}\\x=2a\text{, }y=-2b\text{, }&\text{unconditionally}\\x=0\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=0\text{, }&b=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2bx+ay=2ab$$

ลบ ay จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2bx=\left(-a\right)y+2ab$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2b

$$x=\frac{1}{2b}\left(\left(-a\right)y+2ab\right)$$

คูณ \frac{1}{2b} ด้วย a\left(-y+2b\right)

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a$$

ทดแทน a-\frac{ay}{2b} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง bx+\left(-a\right)y=4ab

$$b\left(\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a\right)+\left(-a\right)y=4ab$$

คูณ b ด้วย a-\frac{ay}{2b}

$$\left(-\frac{a}{2}\right)y+ab+\left(-a\right)y=4ab$$

เพิ่ม -\frac{ay}{2} ไปยัง -ay

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y+ab=4ab$$

ลบ ba จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y=3ab$$

หารทั้งสองข้างด้วย -\frac{3a}{2}

$$y=-2b$$

ทดแทน -2b สำหรับ y ใน x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)\left(-2b\right)+a$$

คูณ -\frac{a}{2b} ด้วย -2b

$$x=a+a$$

เพิ่ม a ไปยัง a

$$x=2a$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=2a,y=-2b$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}&-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}\\-\frac{b}{2b\left(-a\right)-ab}&\frac{2b}{2b\left(-a\right)-ab}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}&\frac{1}{3b}\\\frac{1}{3a}&-\frac{2}{3a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}\times 2ab+\frac{1}{3b}\times 4ab\\\frac{1}{3a}\times 2ab+\left(-\frac{2}{3a}\right)\times 4ab\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2a\\-2b\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=2a,y=-2b$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

เพื่อทำให้ 2bx และ bx เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย b และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2b

$$b\times 2bx+bay=b\times 2ab,2bbx+2b\left(-a\right)y=2b\times 4ab$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$2b^{2}x+aby=2ab^{2},2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2}$$

ลบ 2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2} จาก 2b^{2}x+aby=2ab^{2} โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2b^{2}x+\left(-2b^{2}\right)x+aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

เพิ่ม 2b^{2}x ไปยัง -2b^{2}x ตัดพจน์ 2b^{2}x และ -2b^{2}x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

เพิ่ม bay ไปยัง 2bay

$$3aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

เพิ่ม 2ab^{2} ไปยัง -8ab^{2}

$$3aby=-6ab^{2}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3ba

$$y=-2b$$

ทดแทน -2b สำหรับ y ใน bx+\left(-a\right)y=4ab เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$bx+\left(-a\right)\left(-2b\right)=4ab$$

คูณ -a ด้วย -2b

$$bx+2ab=4ab$$

ลบ 2ba จากทั้งสองข้างของสมการ

$$bx=2ab$$

หารทั้งสองข้างด้วย b

$$x=2a$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=2a,y=-2b$$