แก้โจทย์ {l}{2a-b=3}{a-b=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 a - b = 3 } \\ { a - b = 2 } \end{array} \right.$$

หาค่า a, b

$$a=1$$

$$b=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2a-b=3,a-b=2$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ a โดยแยก a ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2a-b=3$$

เพิ่ม b ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2a=b+3$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$a=\frac{1}{2}\left(b+3\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย b+3

$$a=\frac{1}{2}b+\frac{3}{2}$$

ทดแทน \frac{3+b}{2} สำหรับ a ในอีกสมการหนึ่ง a-b=2

$$\frac{1}{2}b+\frac{3}{2}-b=2$$

เพิ่ม \frac{b}{2} ไปยัง -b

$$-\frac{1}{2}b+\frac{3}{2}=2$$

ลบ \frac{3}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{1}{2}b=\frac{1}{2}$$

คูณทั้งสองข้างด้วย -2

$$b=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ b ใน a=\frac{1}{2}b+\frac{3}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า a โดยตรงได้

$$a=\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{3}{2}$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -1

$$a=\frac{-1+3}{2}$$

เพิ่ม \frac{3}{2} ไปยัง -\frac{1}{2} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$a=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$a=1,b=-1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2a-b=3,a-b=2$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{2\left(-1\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-1\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3-2\\3-2\times 2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ a และ b

$$a=1,b=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2a-b=3,a-b=2$$

ลบ a-b=2 จาก 2a-b=3 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2a-a-b+b=3-2$$

เพิ่ม -b ไปยัง b ตัดพจน์ -b และ b ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$2a-a=3-2$$

เพิ่ม 2a ไปยัง -a

$$a=3-2$$

เพิ่ม 3 ไปยัง -2

$$a=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ a ใน a-b=2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า b โดยตรงได้

$$1-b=2$$

ลบ 1 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-b=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$a=1,b=-1$$