แก้โจทย์ {l}{2a+3b=0}{2a+5b=16}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 a + 3 b = 0 } \\ { 2 a + 5 b = 16 } \end{array} \right.$$

หาค่า a, b

$$a=-12$$

$$b=8$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2a+3b=0,2a+5b=16$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ a โดยแยก a ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2a+3b=0$$

ลบ 3b จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2a=-3b$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$a=\frac{1}{2}\left(-3\right)b$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -3b

$$a=-\frac{3}{2}b$$

ทดแทน -\frac{3b}{2} สำหรับ a ในอีกสมการหนึ่ง 2a+5b=16

$$2\left(-\frac{3}{2}\right)b+5b=16$$

คูณ 2 ด้วย -\frac{3b}{2}

$$-3b+5b=16$$

เพิ่ม -3b ไปยัง 5b

$$2b=16$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$b=8$$

ทดแทน 8 สำหรับ b ใน a=-\frac{3}{2}b เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า a โดยตรงได้

$$a=-\frac{3}{2}\times 8$$

คูณ -\frac{3}{2} ด้วย 8

$$a=-12$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$a=-12,b=8$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2a+3b=0,2a+5b=16$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3\times 2}&-\frac{3}{2\times 5-3\times 2}\\-\frac{2}{2\times 5-3\times 2}&\frac{2}{2\times 5-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&-\frac{3}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}\times 16\\\frac{1}{2}\times 16\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\8\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ a และ b

$$a=-12,b=8$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2a+3b=0,2a+5b=16$$

ลบ 2a+5b=16 จาก 2a+3b=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2a-2a+3b-5b=-16$$

เพิ่ม 2a ไปยัง -2a ตัดพจน์ 2a และ -2a ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$3b-5b=-16$$

เพิ่ม 3b ไปยัง -5b

$$-2b=-16$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$b=8$$

ทดแทน 8 สำหรับ b ใน 2a+5b=16 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า a โดยตรงได้

$$2a+5\times 8=16$$

คูณ 5 ด้วย 8

$$2a+40=16$$

ลบ 40 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2a=-24$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$a=-12$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$a=-12,b=8$$