แก้โจทย์ {l}{2(3x+y)=1/2}{1/2(2x+8y)=3/2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 ( 3 x + y ) = \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 1 } { 2 } ( 2 x + 8 y ) = \frac { 3 } { 2 } } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-\frac{1}{22}\approx -0.045454545$$

$$y=\frac{17}{44}\approx 0.386363636$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$3x+y=\frac{\frac{1}{2}}{2}$$

แสดง \frac{\frac{1}{2}}{2} เป็นเศษส่วนเดียวกัน

$$3x+y=\frac{1}{2\times 2}$$

คูณ 2 และ 2 เพื่อรับ 4

$$3x+y=\frac{1}{4}$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างด้วย 2 ซึ่งเป็นเศษส่วนกลับของ \frac{1}{2}

$$2x+8y=\frac{3}{2}\times 2$$

คูณ \frac{3}{2} และ 2 เพื่อรับ 3

$$2x+8y=3$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x+y=\frac{1}{4},2x+8y=3$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x+y=\frac{1}{4}$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=-y+\frac{1}{4}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+\frac{1}{4}\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -y+\frac{1}{4}

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{12}$$

ทดแทน -\frac{y}{3}+\frac{1}{12} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x+8y=3

$$2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{12}\right)+8y=3$$

คูณ 2 ด้วย -\frac{y}{3}+\frac{1}{12}

$$-\frac{2}{3}y+\frac{1}{6}+8y=3$$

เพิ่ม -\frac{2y}{3} ไปยัง 8y

$$\frac{22}{3}y+\frac{1}{6}=3$$

ลบ \frac{1}{6} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{22}{3}y=\frac{17}{6}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{22}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{17}{44}$$

ทดแทน \frac{17}{44} สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{12} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{17}{44}+\frac{1}{12}$$

คูณ -\frac{1}{3} ครั้ง \frac{17}{44} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{17}{132}+\frac{1}{12}$$

เพิ่ม \frac{1}{12} ไปยัง -\frac{17}{132} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{1}{22}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{1}{22},y=\frac{17}{44}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$3x+y=\frac{\frac{1}{2}}{2}$$

แสดง \frac{\frac{1}{2}}{2} เป็นเศษส่วนเดียวกัน

$$3x+y=\frac{1}{2\times 2}$$

คูณ 2 และ 2 เพื่อรับ 4

$$3x+y=\frac{1}{4}$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างด้วย 2 ซึ่งเป็นเศษส่วนกลับของ \frac{1}{2}

$$2x+8y=\frac{3}{2}\times 2$$

คูณ \frac{3}{2} และ 2 เพื่อรับ 3

$$2x+8y=3$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x+y=\frac{1}{4},2x+8y=3$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3\times 8-2}&-\frac{1}{3\times 8-2}\\-\frac{2}{3\times 8-2}&\frac{3}{3\times 8-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{1}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times \frac{1}{4}-\frac{1}{22}\times 3\\-\frac{1}{11}\times \frac{1}{4}+\frac{3}{22}\times 3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{22}\\\frac{17}{44}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{1}{22},y=\frac{17}{44}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$3x+y=\frac{\frac{1}{2}}{2}$$

แสดง \frac{\frac{1}{2}}{2} เป็นเศษส่วนเดียวกัน

$$3x+y=\frac{1}{2\times 2}$$

คูณ 2 และ 2 เพื่อรับ 4

$$3x+y=\frac{1}{4}$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างด้วย 2 ซึ่งเป็นเศษส่วนกลับของ \frac{1}{2}

$$2x+8y=\frac{3}{2}\times 2$$

คูณ \frac{3}{2} และ 2 เพื่อรับ 3

$$2x+8y=3$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x+y=\frac{1}{4},2x+8y=3$$

เพื่อทำให้ 3x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$2\times 3x+2y=2\times \frac{1}{4},3\times 2x+3\times 8y=3\times 3$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$6x+2y=\frac{1}{2},6x+24y=9$$

ลบ 6x+24y=9 จาก 6x+2y=\frac{1}{2} โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6x-6x+2y-24y=\frac{1}{2}-9$$

เพิ่ม 6x ไปยัง -6x ตัดพจน์ 6x และ -6x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$2y-24y=\frac{1}{2}-9$$

เพิ่ม 2y ไปยัง -24y

$$-22y=\frac{1}{2}-9$$

เพิ่ม \frac{1}{2} ไปยัง -9

$$-22y=-\frac{17}{2}$$

หารทั้งสองข้างด้วย -22

$$y=\frac{17}{44}$$

ทดแทน \frac{17}{44} สำหรับ y ใน 2x+8y=3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x+8\times \frac{17}{44}=3$$

คูณ 8 ด้วย \frac{17}{44}

$$2x+\frac{34}{11}=3$$

ลบ \frac{34}{11} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-\frac{1}{11}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=-\frac{1}{22}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{1}{22},y=\frac{17}{44}$$