แก้โจทย์ {l}{2(2x)=6y}{4x+2(6y)=360}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 ( 2 x ) = 6 y } \\ { 4 x + 2 ( 6 y ) = 360 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=30$$

$$y=20$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก คูณ 2 และ 2 เพื่อรับ 4

$$4x=6y$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=\frac{1}{4}\times 6y$$

คูณ \frac{1}{4} ด้วย 6y

$$x=\frac{3}{2}y$$

ทดแทน \frac{3y}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 4x+12y=360

$$4\times \frac{3}{2}y+12y=360$$

คูณ 4 ด้วย \frac{3y}{2}

$$6y+12y=360$$

เพิ่ม 6y ไปยัง 12y

$$18y=360$$

หารทั้งสองข้างด้วย 18

$$y=20$$

ทดแทน 20 สำหรับ y ใน x=\frac{3}{2}y เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{3}{2}\times 20$$

คูณ \frac{3}{2} ด้วย 20

$$x=30$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=30,y=20$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก คูณ 2 และ 2 เพื่อรับ 4

$$4x=6y$$

ลบ 6y จากทั้งสองด้าน

$$4x-6y=0$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณ 2 และ 6 เพื่อรับ 12

$$4x+12y=360$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$4x-6y=0,4x+12y=360$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}4&-6\\4&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\360\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}4&-6\\4&12\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-6\\4&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-6\\4&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-6\\4&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\360\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-6\\4&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\360\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-6\\4&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\360\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{4\times 12-\left(-6\times 4\right)}&-\frac{-6}{4\times 12-\left(-6\times 4\right)}\\-\frac{4}{4\times 12-\left(-6\times 4\right)}&\frac{4}{4\times 12-\left(-6\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\360\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{12}\\-\frac{1}{18}&\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\360\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 360\\\frac{1}{18}\times 360\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\20\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=30,y=20$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก คูณ 2 และ 2 เพื่อรับ 4

$$4x=6y$$

ลบ 6y จากทั้งสองด้าน

$$4x-6y=0$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณ 2 และ 6 เพื่อรับ 12

$$4x+12y=360$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$4x-6y=0,4x+12y=360$$

ลบ 4x+12y=360 จาก 4x-6y=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4x-4x-6y-12y=-360$$

เพิ่ม 4x ไปยัง -4x ตัดพจน์ 4x และ -4x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-6y-12y=-360$$

เพิ่ม -6y ไปยัง -12y

$$-18y=-360$$

หารทั้งสองข้างด้วย -18

$$y=20$$

ทดแทน 20 สำหรับ y ใน 4x+12y=360 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$4x+12\times 20=360$$

คูณ 12 ด้วย 20

$$4x+240=360$$

ลบ 240 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=120$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=30$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=30,y=20$$